数学I ２次関数について 最小、最大値

質問

６年ぶりの数学でさっぱりわかりません。1週間後に試験が迫ってますｗｗ
過去入試問題なのですが答えがないため、解いても合っているのか。
こんなの高校で習いましたっけ？？（笑）ご教授おねがいします。

問題　　X＋Y＝１のとき、次の問いに答えなさい。

[１]　X＾2＋Y＾2の最小値を求めなさい。

以下私の解答
Y＝１－X　‥(1)

(1)より　X＾2＋（１－X）＾2＝Ｐ　　←Ｐの意味はわかりません　
　２X＾2＋２X＋1＝Ｐ
２（X＾2＋Ｘ＋1/4－1/4）＋１＝Ｐ
　２（X-1/2）＾2＋1/2＝Ｐ

よってX＝1/2のときＹ＝1/2で最小値1/2　‥(2)

これ・・合ってます？？

さらに問題は続きます。こっちの方が全く意味分かりません。

[２]　XYの最大値を求めなさい

　以下・・一応考えてみた私の解答

　(2)より　Ｙ≦1/2 ←？？

　(1)より　Ｙ＝１－Ｘなので １－Ｘ≦1/2
　　　　　　　　　　　　　 Ｘ≧1/2 ‥(3)
　(2)、(3)、Ｘ＋Ｙ＝１から　
　　Ｘ＝1/2、Ｙ＝1/2のときＸＹの最大値は1/4

なんか気持ち悪い答えなんですけど・・

[２]の問題は
Ｘ＋Ｙ＝１を満たすＸＹの最大値って時点で自然と1/2×1/2＝1/4になりませんか？
根本的に考え方が間違ってます？笑
お暇な時にでもお力貸して下さい。お願いします。

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

[1] は (確かに P の意味がわからんが) そんな感じであってる.
[2] は最初から最後まで徹頭徹尾問題外. 出だしの「(2) より」に「なんで」って聞かれて, ちゃんと答えられる?
方針は
(1) 素直に Y = 1-X を代入して平方完成
(2) 相加平均と相乗平均の関係
(3) [1] から XY = [1 - (X^2+Y^2)]/2
くらいか.

お礼

夜分遅くにありがとうございます。
この問題本当に謎だったんで困ってました。
[１]はまぁ大丈夫なんですね(汗)
試験の解答は最後の答えだけでいいので途中の式がおかしいのは気にしませんｗ

[２]は・・私も最初から最後まで訳不明で書いてました(笑)
うん。なんとなくわかった気がします。なんとなくですが。
相加平均と相乗平均は即ググりましたｗ
平方完成しても何かしっくりこない式になります。
あーもうだめだ、一度寝て頭すっきりしてからもう一度頑張ります。

こんな時間に貴重なお時間を割いていただきありがとうございました。
おやすみなさい。