最大、最小、微積分、偏微分

質問

それぞれの関数の最大、最小となる場合を調べよ
1,x^2-xy+y~2-2x+3y+1
2,x^22-5xy+2y~2+x-y-3
それぞれの関数の極大極小を調べよ。最大、最小になるか。
1,z=x^3-xy+y^2
2,z=(x^2+y^2-1)^2
という問題なんですがいまいちわかりません。
解説と解答ををお願いします。

回答No.5

info22 · ベストアンサー

#1～#4です。
補足します。
前半の１の別解ヒント
z=f(x,y)を変数変換すると
の三次元プロットすると楕円放物面 z=u^2+3v^2-4/3
と変形できu=v=0で最小値（=極小値）が z=-4/3 となります。
最大値、極大値は持たない。

前半の2の別解ヒント
z=f(x,y)を変数変換すると
の三次元プロットすると双曲放物面 z=-a^2*u^2+b^2*v^2-53/17（a>0,b>0)
と変形できます。この双曲放物面なので最大値、最小値、極大値・極小値のいずれも持たない。

楕円放物面、双曲放物面の三次元プロットの形状は参考URLに載っていますので確認ください。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%9B%B2%E9%9D%A2

回答No.4

info22

#1～#3です。

A#2の補足質問の回答
基礎的なことがお分かりになっていないようですね。
少し深刻？
最大値が存在しない。最小値が存在しない。ということが
何を意味するか、初心に戻ってよく考えて見てください。

>前半の1なのですが、なぜ最大値がないと言えるのですか？
前半が楕円法物面で水平切断面は楕円、縦方向
x=yとしながら y→∞としてみてください。
f(x,y)→∞になることが分かりませんか？
最大値が無限大になるときは最大値が存在しないと言うことです。

>あと前半の2も1と同様に最小値？？が出たのですが
>>実数kの範囲の制限なし。極大（最大）、極小（最小）なし。
>？？この記述がわかりません。極大と最大は違いますよね？？
>すべてなしって意味ですか？
基本的なことが分かっていない重症です。
y=tan(x)やy=1/xのような関数では
最大値も最小値も極大値も極小値も存在しません。
これが分かっていないと、このようなつまらない質問になるのです。

前半の2では
x=yを保ちながら　y→∞とするとf(x,y)→-∞
x=-yを保ちながら　y→∞とするとf(x,y)→∞
と発散します。
唯一の滞留点が鞍点なので極大、極小のどちらでも存在しない。
三次元プロットの図を添付しておきます。
最大、最小、極大、極小のいずれも存在しないことが理解できるかと思います。
図はf(x,y)を違った方向からプロットしたもので、滞留点が鞍点となっていて極大でも極小でもないこと、滞留点から離れるにつれて無限大になったり、無限小に発散する状態が分かります。
これらの様子が、数式から理解できるような洞察力を養うことが大切ですね。

回答No.3

info22

#1,#2です。
問題の誤植は質問者さんの方で気がつき次第訂正して下さい。

前半
>1,x^2-xy+y~2-2x+3y+1
1,x^2-xy+y^2-2x+3y+1

>2,x^22-5xy+2y~2+x-y-3
2,x^2-5xy+2y~2+x-y-3

A#2の前半の2についての訂正
>（x=-1/17,y=1/3は滞留点であるが鞍点で極大、極小ではない）
（x=-1/17,y=3/17は滞留点であるが鞍点で極大、極小ではない）

後半の追加ヒント
1.
x=1/6,y=1/12で極小
(x=0,y=0では鞍点）

2.
x=0,y=0で極大値=1
x^2+y^2=1を満たす全ての点(x,y)で最小値=0

回答No.2

info22

#1です。
A#1の補足質問のヒント
前半の１のヒントだけ）
x^2-xy+y~2-2x+3y+1=kとおくと
xの２次方程式として見たとき実数xが存在する条件は
判別式D1=-3y^2-8y+4k≧0
3y^2+8*y-4k≦0…(■)
これを満たす実数yが存在する条件は
3y^2+8*y-4k=0…(●)
の判別式D2=3k+4≧0
これからkの最小値-4/3（極小値）
が出てきます。最大値（極大値）なし。
k=-4/3の時(●)は
y=-4/3,x=1/3

2も同様にできる。
判別式D1≧0
これを満たす実数yが常に存在する。
実数kの範囲の制限なし。極大（最大）、極小（最小）なし。
（x=-1/17,y=1/3は滞留点であるが鞍点で極大、極小ではない）
（鞍点であることはA#1の参考URLの方法で調べることが出来る。）

補足

ありがとうございます。
前半の1なのですが、なぜ最大値がないと言えるのですか？

あと前半の2も1と同様に最小値？？が出たのですが
＞実数kの範囲の制限なし。極大（最大）、極小（最小）なし。
？？この記述がわかりません。極大と最大は違いますよね？？
すべてなしって意味ですか？

回答No.1

info22

自力解答を書いて質問していただかないと解答できません。
補足に自力解答を書いて、解答の分からないところを聞いたり、チェックを依頼してください。

そうすれば回答者がアドバイスや訂正などの回答が出来ます。

なのでヒントだけしかできません。
前半の1,2
=kとおいてxおよびyの実数条件を求める。

後半の1,2
fx=fy=0とする停留点を求め
停留点におけるfxxと判別式D=fxy-fxxfyy
の符号を調べてください。

参考URL：

http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/10kaisk/101ksk.html

補足

返事ありがとうございます。
いただきましたヒントで後半の二つの問題は今やっていてなんとかなりそうな感じなのですが、前半２つが手がつきません。もう少しヒントくれないでしょうか？？