最大値、最小値を求める問題

質問

x^2+y^2-4=0のときのz=1-xyの最小値と最大値を求めよ

ただし、最大値と最小値は持つものとする

この問題がよくわからないです

解説をお願いします

回答No.4

staratras · ベストアンサー

最初から三角関数で考えた方がわかりやすいと思います。

x^2+y^2=4 より　x=2cosΘ　y=2sinΘ　（ただし0≦Θ≦2π）　とおける

z=1-xy=1-4cosΘsinΘ=1-2sin2Θ　（ただし0≦2Θ≦4π）

よってzの最大値は　sin2Θ=-1 (Θ=3π/4 または　Θ=7π/4)のとき　z=3
このとき　(x,y)=(-√2,√2)または(√2,-√2)

zの最小値は　sin2Θ=1 (Θ=π/4 または Θ=5π/4)のとき　z=-1
このとき　(x,y)=(√2,√2)または(-√2,-√2)

回答No.3

erayami

大変申し訳ありません

No.1ですが、x^2＋y^2=4を満たしていませんでした。

一応他のやり方を代わりに書いておきます。

x^2＋y^2=4

(x＋y)^2-4=2xy

xyについて解いてz=1-xyに代入

3-1/2(x＋y)^2=z

x＋yの最大最小がわかればよい

中心が原点、半径が2の円において、

x＋y=2(cosΘ＋sinΘ) 0≦Θ≦2π Θはx軸の正の部分と半径がなす角

=2√2(sin(Θ＋45))

Θ=45のとき最小値-1をとり、
Θ=135のとき最大値3をとる。

参考までに。すみません

回答No.2

mnakauye

こんにちは、

　式を変形して、問題は　x^2+y~2=4　・・・(1)　のとき、z=1-xy　・・・(2)　の最小値と最大値　ということですが、

　いいかえると　点（ｘ、ｙ）が、中心が原点で半径が２の円上にあるとき、ｚが最大になるとき、

　最小になるときのｚの値を求めるということになります。

　そこで　(2)を変形して、ｘｙ＝１－ｚ　・・・(3)　とすると　これは　xy=a　・・・(4)　（または　ａが０でないときは　ｙ＝ａ／ｘ）

という形の式ですから、双曲線という形になります。（下の図　左の２つの図）

　このとき、ａ＝１－ｚ　ですから、ｚが最大ということは、ａは最小で、ｚが最小のときはａが最大、逆に

　aが最大ということは、zは最小で、aが最小のときはzが最大ですから、　ａの最大と最小を探せば良いことになります。

　　ａ　がいくつかの値をとるような　ｘｙ＝ａ　のグラフを書いてみると　下の図の右になります。

　　ｘとｙが、(1)と(4)の両方を満たすのは、両方の曲線が交わるところですから、

　　結局(1)と(4)が交わる中で、ａが一番大きくなるところと一番小さくなるところを探せば良いわけです。

　　a>0　のときは　xy=a　のグラフは、第１象限と第３象限にあって　ａが大きいほどグラフは原点から遠ざかります。

　　ａ＜０のときは　xy=a　のグラフは、第２象限と第４象限にあって　ａが小さいほどグラフは原点から遠ざかります。

　　だから、円と交わる範囲で、原点から遠くなるほど　a>0　のときは大きくなり、a<0のときは小さくなります。

　　以上から、a>0　で(1)と(4)が接するとき、ａは最大・・・・・・・・ｚは最小

　　　　　　　　a<0　　で(1)と(4)が接するとき、ａは最小・・・・・・・・ｚは最大

　　ということですね。

　　そこで　(1)と(4)が接するのは、(1)と(4)の図からみて　ｙ＝ｘ　のところ、または　ｙ＝－ｘのところですから、・・・(5)

　　　(1)に代入して、２ｘ＾２＝４　ｘ＾２＝２、(4)から　ｙ＝ｘのとき　　a=ｘ＾２＝２、ｙ＝－ｘのとき　a=-x^2=-2

　　　つまり　ａの最大は　２、最小は　－２　ということは　z=1-a　の最大は１－（－２）＝３、最小は　１－２＝－１です。

　なお、(5)のところは、(1)　x^2+y^2=4,　と　(4)　xy=a　を連立方程式で解いて、接するということつまり重解を持つことから

　ｘ＝+ー√２、　ｙ＝＋－√２　複合順位は任意　を出して　ａを求めるのが、計算で出す方法です。

　図を使うほうがはるかに簡単になります。

回答No.1

erayami

4を右辺に移項すると円の方程式になります。

よって-2≦x≦2、yも同じです。

最大値はx,yが2,-2のとき

最小値は が2,2または-2,-2のとき

となります。