最大値最小値

質問

x^2+xy+y^2=3のとき、x^2+y^2+x+yの最大値最小値を求めよ。
つぎのように考えました。
与式を変形して、(x+y/2)^2+(3/4)y^2=3 より、
x+y/2=(√3)cosθ、{(√3)/2}y=sinθ　とおき、x=√3cosθ-sinθ、y=2sinθ
を代入すると
x^2+y^2+x+y=2(sinθ)^2-2√3cosθsinθ+√3cosθ+sinθ+3
となり、ここからこの三角関数の最大最小を考えようとしましたが、このあとどうすれば
よいでしょうか。よろしくおねがいします。

回答No.1

mister_moonlight · ベストアンサー

相変わらず、面倒な考え方をするね。

条件式も求める式も対称式だから、x+y＝a、xy＝bとすると、a＾2-b＝3、a＾2-4b≧0より、｜a｜≦2.
x^2+y^2+x+y＝a＾2＋a-2b＝-a＾2＋a＋6　という2次関数の最大値と最小値を｜a｜≦2で考えるだけ。

＞このあとどうすればよいでしょうか。

Ｐ＝計算して＝4-(√3sin2θ＋cos2θ)＋(sinθ＋√3cosθ) となるから、sinθ＋√3cosθ＝tとすると、-2≦t≦2。
sinθ＋√3cosθ＝tを2乗すると、√3sin2θ＋cos2θ＝t＾2-2　であるから、Ｐ＝4-(√3sin2θ＋cos2θ)＋(sinθ＋√3cosθ) ＝4-(t＾2-2)＋t＝-t＾2＋t＋6　であるから、このtの2次関数を　-2≦t≦2　の範囲で最大値と最小値を考える、だけ。

お礼

回答ありがとうございます
x+y＝a、xy＝bとするのが、この問題の本筋の解答だと回答を
みて思いました。自分のやりかたは比較するとまどろっこしいと
あらためて思いました。
sinθ＋√3cosθ＝tを2乗すると、√3sin2θ＋cos2θ＝t＾2-2に
考えが至りませんでした。なるほど。

回答No.2

alice_44

三角関数が使いたいなら、
x^2 + xy + y^2 = 3 ⇔ (1/4)(x + y)^2 + (1/12)(x - y)^2 = 1
と変形して、
x + y = 2(cos t), x - y = (2√3)(sin t) と置いてみてはどうか。

x^2 + y^2 + x + y
= (1/2){ (x + y)^2 + (x - y)^2 } + (x + y)
= 2(cos t)^2 + 6(sin t)^2 + 2(cos t)
= 2(cos t)^2 + 6{ 1 - (cos t)^2 } + 2(cos t)
となるから、改めて u = cos t と置けば、
u に関する二次関数の最大最小を求める問題になる。

お礼

回答ありがとうございます
２乗の和の形の作り方は、頂点を求める際の平方完成しか頭になかったので
x^2 + xy + y^2 = 3 ⇔ (1/4)(x + y)^2 + (1/12)(x - y)^2 = 1
は勉強になります。シンプルですっきりしています。