最大値 最小値 高校１年レベルです。

質問

x≧０、y≧０、x+y=4　のときｘ二乗+y二乗の最大値と最小値を求めよ。という問題で僕は（x+y）二乗-2xy＝4二乗-2xyとして、
x二乗+y二乗＝16-２xyとしました。このとき、-2xyは負の数なので（
xは0以上4以下、yは0以上4以下より）最大値はx=y=0で16.
最小値はx=y=4より-16としました。しかし最大値は8だそうです。
なぜでしょう？式的には問題ないはずなのですが…。
回答には二次関数の式に変形しグラフを書いて解く方法が書いてあるのですが僕の方法でも間違っていない気がするのです。
僕の解法が違っていれば、アドバイスをまた方法を教えてください。
お願いします。

回答No.7

take_5

＞解法はひとつとは限りません。

Ｐ＝ｘ＾2+y＾2＝（x+y）＾2-2xy＝16-2xy
xy＝kとすると、Ｐ＝ｘ＾2+y＾2＝（x+y）＾2-2xy＝16-2xy＝16-2k＝f（k）‥‥(1)
つまり(1)は傾きが-2のkの１次関数であるから、kの値の範囲を定めると良い。
xとyはx+y＝4、xy＝k、x≧0、y≧0であるから、t＾2-4t+k＝0の非負の2実数解であるから、判別式≧0、2解の和＝4＞0、2解の積＝k≧０であるから、0≦k≦4‥‥(2).
(2)の範囲で(1)の最大値と最小値を考えれば良い。
16-f（4）≦Ｐ≦16-f（0）であるから、8≦Ｐ≦16。
Ｐ＝8はx＝y＝2、Ｐ＝16はx＝4、y＝0、または、x＝0、y＝4の時。

お礼

なるほど！すごいですね。ありがとうございました。

回答No.6

key-boy

高校１年レベルで話をしましょう。
ｘ^2+y^2＝ｋとします。
ｘ＋ｙ＝４よりｙ＝４－ｘこれを代入して
ｋ＝ｘ^2+(4-x)^2
右辺を平方完成して
縦軸にk 横軸にｘでグラフを描いてみてください。
答えが見つかります。

お礼

助かります！参考になりました。

回答No.5

daikaisan

このとき、-2xyは負の数なので（
xは0以上4以下、yは0以上4以下より）
最大値はx=y=0で16.
この最大値の根拠も、論理的に脆弱ですね。
間違いではないけれど。

>最小値はx=y=4より-16としました。
あなたの論理の脆弱性が、ここで論理の破綻をうんでいます。
x=y=4・・・なんでこうなるの？
X,Yは、X+Y=4　を満たしていないとだめでしょ。
X=4のとき、Y=0
Y=4のとき、Y=0 となっちゃいますよ。
特にXYについてここで考えて見ましょう。今後の参考にされたし、
相加平均≧相乗平均(x≧０、y≧０)を利用してみましょう。
(X+Y)/2≧√XY X+Y=4だから、2≧√XY
x≧０、y≧０だから、両辺を平方
4≧XY XYの最大値は４なのです。
X~2+Y^2=16-2XY だから　4≧XYを変形します
-XY≧-4 -2XY≧-8 16-2XY≧8
X~2+Y^2=16-2XY≧8　これで、最小値８がでます。等式成立は
X=Yのとき、X=Y=2

今後も勉強に励んでください。

別の解法をしめしておきます。

一番わかりやすいのは
X^2+Y^2=r~2 とすると、円の方程式となります。
中心は(0,0)ですね。
そうすると、r~2 のrは半径をあらわします。
rのとりえる値は、x≧０、y≧０から、円は第一象限にかぎられ、
かつ、X+Y=4とこの円が、接する、あるいは交わる間となります。

あなたも、グラフを書いてみてください。
そうすると、X+Y=4と接するとき、接点(2,2)のとき
r~2が最小、(0,0)と(2,2)の距離の２乗、８とわかります。
だから、(X,Y)=(2,2)のとき、最小値８

(0,4)、または(4,0)をこの円が通るときが最大です。
そのときの、r~2=4~2+0~2=16
すなわち、(X,Y)=(4,0) または(0,4)のとき最大値１６となります。

三角関数、微分をもちいてもとくことができます。

がんばって、数学が好きになってください。
これぐらいにしておきますが、

お礼

応用ありがとうございました！数学がんばります！

回答No.4

take_5

＞僕の方法でも間違っていない気がするのです

間違いです。貴方の解かれた場合がx+y=4　を満たさないというだけでなく、貴方の解では

＞-2xyは負の数なので、

これでは、最大値や最小値を与える、何の根拠にもならないからです。

＞x≧０、y≧０、x+y=4　のときｘ＾2+y＾2の最大値と最小値を求めよ

ｘ＾2+y＾2＝k　（k≧0）とすると、点（x、y）が直線：x+y=4（x≧０、y≧０）上を動くとき、原点を中心とする円の半径√kの最大値と最小値を求める問題になります。
図を書けばすくわかるでしょうが、第１象限で直線：x+y=4と円：ｘ＾2+y＾2＝k　が接するときが最小、又、点（4、0）と（0、4）を通るときが最大というのがすぐわかるでしょう。

解法はひとつとは限りません。

回答No.3

zk43

基本は１変数にすることですが、絵で見ると原点と線分x≧０、y≧０、
x+y=4上の点との距離の二乗の最大最小を求めることなので、(4,0),
(0,4)で最大、(2,2)で最小になることは見当がつきます。
答えが出たらそれが正しそうかどうかの検証にはなると思います。
また、ｘ二乗+y二乗は０以上なので最小がマイナスになることはありま
せん。
このように、式をごちゃごちゃと変形して出てきた答えがおかしいと
思われるときは、式の操作が間違っていることは良くあります。

回答No.2

fukuda-h

間違いです。
＞xは0以上4以下、yは0以上4以下より）最大値はx=y=0で16.
とありますがx=y=0は条件x+y=4を満たしません。したがってこの問題には適しません。
また、最小値についても＞最小値はx=y=4より-16としました
とありますがx=y=4はこの問題の条件x+y=4を満たしません。
したがっていずれも誤りです。
＞式的には問題ないはずなのですが…。
とありますが「条件を満たしてない」ので根本的に誤りです。
問題に条件がついているときにはこの条件を満たしながらという事が大切で自分勝手に探してはいけませんね。
根本的に「X、Yの２変数の問題は変数を一つにして考えること」が基本です。
回答を読んだようですが変数の一つを消去して１変数の最大最小の問題に帰結していると思います。これが大事なのです。
数学は基本が大事です。あるルールを守っていると物事がより簡単になります。もう一度回答を読んでよく理解しましょう。

お礼

ありがとうございます！！考え方が間違っていました…
回答にもｘ、ｙのどちらかを消去し一つにするやり方がかいてありました。勉強になりました。

回答No.1

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x=y=0というのが、条件式x+y=4を満たしていないからです。
x=y=4というのも同様です。
x+y=4から、y=4-xとして
文字を減らしてxの２次関数にして考るのが普通のやり方です。

お礼

ありがとうございます！