２次関数最大最小

質問

y=x^2+|2x-1|+(k^2+1)　のグラフと直線y=mが，x軸の正の方向に，相異なる2点Ｐ，Ｑで交わる．
Ｐ，Ｑのx座標が、それぞれ2k,k+2であるとき，以下の問に答えよ。ただし、k,mは実数とする。
(1) 条件を満たす最大のkの値および、このときのmの値を求めよ。
(2)条件を満たす最小のkの値および、このときのmの値を求めよ。
(3)kの値が条件を満たす最大の値であるとき、２次関数yの最小値とそのときのxの値を求めよ。
(4)ｋの値が条件を満たす最小の値をとるとき、２次関数yの最大値とそのときのxの値を求めよ。

　　x>=1/2のとき　y=x^2+2x-1+k^2+2k+1=x^+2x+k^2+k=(x+1)^2+k^2+2k-1
　　x<1/2のとき　　y=x^2-2x+1+k^2+2k+1=x^2-2x+k^2+2k+2=(x-1)^2+k^2+2k+1

　　点P（2k,m）, m=(2k+1)^2+k^2+2k-1=5k^2+6k
　　点Ｑ((k+2),m) m=(k+2-1)^2+k^2+2k+1=2k^2+4k+2

　　　5k^2+6k=2k^2+4k+2
3k^2+2k-2=0 k=-1±√7

　x=1/2のとき　y=k-2+2k+5/4＜m

・・・・・
　　出だしからどのように考えればいいでしょうか。

回答No.3

yyssaa · ベストアンサー

失礼しました。再回答します。
(1) 条件を満たす最大のkの値および、このときのmの値を求めよ。
＞x≦1/2のときy=x^2-2x+1+(k+1)^2=x^2-2x+k^2+2k+2
点P(2k,m)、m=(2k)^2-2(2k)+k^2+2k+2=5k^2-2k+2
x≦1/2だから2k≦1/2でなければならず、k≦1/4
よってkの最大値は1/4・・・答
このときのmはm=5*(1/4)^2-2*(1/4)+2=29/16・・・答
(2)条件を満たす最小のkの値および、このときのmの値を求めよ。
＞x≧1/2のときy=x^2+2x-1+k^2+2k+1=x^2+2x+k^2+2k
点Q(k+2,m)、m=(k+2)^2+2(k+2)+k^2+2k=2k^2+8k+8
x≧1/2だからk+2≧1/2でなければならず、k≧-3/2
よってkの最小値は-3/2・・・答
このときのmはm=2*(-3/2)^2+8*(-3/2)+8=1/2・・・答
(3)kの値が条件を満たす最大の値であるとき、２次関数yの最小値とそのときのxの値を求めよ。
＞k=1/4のときy=x^2-2x+41/16=(x-1)^2+25/16
x≦1/2だからyの最小値=(1/2-1)^2+25/16=29/16・・・答
(4)ｋの値が条件を満たす最小の値をとるとき、２次関数yの最大値とそのときのxの値を求めよ。
k=-3/2のときy=x^2+2x-3/4=(x+1)^2-7/4
x≧1/2だからyの最小値=(1/2+1)^2-7/4=1/2・・・答

お礼

ありがとうございます。
　遅くなりすみません。

回答No.2

yyssaa

対補足

・・・・・
　　出だしからどのように考えればいいでしょうか。
＞x≧1/2のときはy=x^2+2x-1+(k+1)^2=x^2+2x+k^2+2k
この曲線と直線y=mとの交点のx座標はm=x^2+2x+k^2+2k
すなわち二次方程式x^2+2x+k^2+2k-m=0の解であり、
x=[-2±√{4-4(k^2+2k-m)}]/2=-1±√(1-k^2-2k+m)となり、
-1-√(1-k^2-2k+m)＜0だからP、Qのx座標が共にx≧1/2
を満たすことはない。
　又、x＜1/2のときはy=x^2-2x+1+(k+1)^2=x^2-2x+k^2+2k+2
だからy=mと連立させてm=x^2-2x+k^2+2k+2すなわち二次方程式
x^2-2x+k^2+2k+2-m=0を解くと
x=[2±√{4-4(k^2+2k+2-m)}]/2=1±√(-k^2-2k-1+m)
これらがP、Qのx座標。
x＜1/2だからP、Qのx座標は共に1/2以下でなければならないが、
1+√(-k^2-2k-1+m)＞1/2であり、この場合もP、Qのx座標が共に
x＜1/2を満たすことはない。
　ということで、この問題には解が無いのではないかと思いますが？

回答No.1

yyssaa

問題に間違いあり？

お礼

すみません。ミスをしてしまいました。

　ありがとうございます。

補足

すみません。問題をミスしました。

　2次関数　y=x^2+|2x-1|+(k+1)^2

です。