行列の問題を教えてください(急ぎで知りたいです)

質問

|2 √２|
|√2 3|

の行列をAとしたときの
(i)A^nを求めよ
(ii)exp(A)を計算せよ

という問題なのですがA^nは求められたのですが
exp(A)をどうやって解くのか、またどう表現するのかがわかりません。
教えていただきたいです。

よろしくお願いします。

回答No.5

alice_44

A^n を求めるとき、A の固有値と固有ベクトルを求めて、
A = PD(P^-1) ただし D は対角行列 …と、変形しませんでしたか？
いわゆる「行列の対角化」というやつです。P^-1 は P の逆行列。
D の対角成分は A の固有値で、P の列ベクトルは A の固有ベクトル。
任意の行列が対角化できる訳ではありませんが、質問の A では可能です。
これを使って、A^n = ( PD(P^-1) )^n = P(D^n)(P^-1) から
A No.1 への補足にあるような A^n が計算できる。

exp(A) の定義 = Σ[n=0～∞] A^n/(n！) にも、A の対角化を代入
すると、= P { Σ[n=0～∞] D^n/(n！) } (P^-1) と変形できて、
{ } 内の計算が対角成分の成分毎に行えることが解かるでしょう。
各対角線分が、スカラー指数関数のマクローリン展開になっています。

A^n をケイリー・ハミルトンから求めてしまうと、
この辺の話が見えにくいかもしれない。

回答No.4

info22_

#1,#3です。

A#3の訂正

A#1で
>　exp(A)=Σ[k=0～∞] (A^k)/k!
なので
A#3の
>Σはk=1～∞までの総和をとるとして
は
「Σはk=0～∞までの総和をとるとして」
と訂正します。
つまりk=0からの和をとります。その際
A^0=E(単位行列)、0!=1となります。

また、
>exp(A)=
>[　e^2,e^√2]
>[e^√2,　e^3]

>=
>[　e^2,e^√2]
>[e^√2,　e^3]
となる計算で用いるA^nの定義が異なりますので以下のように差し替えてください。
A^nはケーリー・ハミルトンの式を利用して求めると
A^n=(1/3)(4^n -1)A-(1/3)(4^n-4)E
行列要素で書くと
A^n_11=(2/3)(4^n -1)-(1/3)(4^n-4)=(4^n +2)/3
A^n_12=A^n_21=(√2/3)(4^n -1)
A^n_22=(4^n -1)-(1/3)(4^n -4)=(2*4^n +1)/3

このA^nを用いてexp(A)を定義式を使って計算すると

exp(A)=
Σ[k=0,∞](1/k!) A^k
=Σ[k=0,∞](1/k!)*
[A^k_11,A^k_12]
[A^k_21,A^k_22]
=
[Σ[k=0,∞](1/k!)*A^k_11,Σ[k=0,∞](1/k!)*A^k_12]
[Σ[k=0,∞](1/k!)*A^k_21,Σ[k=0,∞](1/k!)*A^k_22]

行列要素を計算すると
exp(A)_11=∑[n=0,∞] A^n_11/n!
=∑[n=0,∞] (4^n+2)/(3n!)=(1/3)(e^4+2e)
exp(A)_12=exp(A)_21
=∑[n=0,∞] A^n_12/n!
=∑[n=0,∞] (√2)(4^n-1)/(3n!)=(√2/3)(e^4-e)
exp(A)_22=∑[n=0,∞] A^n_22/n!
=∑[n=0,∞] (2*4^n +1)/(3n!)=(1/3)(2e^4+e)

exp(A)=(e/3)*
[ e^3 + 2 ,(e^3 -1)√2]
[(e^3 -1)√2, 2e^3 + 1 ]
となります。eは自然対数の底(ネイピア数)です。

なお、この計算でe^xのマクローリン展開
e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+x^5/5!+ ,,,
でx=4,x=1とおいた
e^4=1+4+4^2/2!+4^3/3!+4^4/4!+4^5/5!+ ,,,
e=e^1=1+1+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+ ,,,
の展開式を逆に利用して計算をします。

(注意)計算間違いがあるかもしれませんので、自分で計算し直してチェックして確認して下さい。

回答No.3

info22_

#1です。

A#2の補足について

>A^nが
>1/3*[2(4^n-1)+4-4^n, √2(4^n-1)]
>　　[ √2(4^n-1), 3(4^n-1)+4-4^n]
>
>となったのですが
A^nは合っているようです。

>どう書けばよろしいのでしょうか？
>Σを使ってnの所をkにして
>Σ(1/k!)[A^k]
>と書けばいいのでしょうか？
だけでは不十分です。
Σはk=1～∞までの総和をとるとして
(kは一般項のnと混乱しなければnのままでも結構です。)
Σ(1/k!)[A^k]
=Σ(1/k!)*
[A^k_11,A^k_12]
[A^k_21,A^k_22]
として
この最終的な1つの行列がexp(A)として書くものです。
つまり、定義の式から最終的な
exp(A)=
[　e^2,e^√2]
[e^√2,　e^3]
を導かせる問題のようです。
つまり
[Σ(1/k!)*A^k_11,Σ(1/k!)*A^k_12]
[Σ(1/k!)*A^k_21,Σ(1/k!)*A^k_22]
=
[　e^2,e^√2]
[e^√2,　e^3]
を導出することが要求されています。
そのために(i)のA^nを求めさせているようです。

exp(A)=
[　e^2,e^√2]
[e^√2,　e^3]
を
A^nからの導出させることこの問題の意図のようです。

A^nが正しく計算できているようですから後は
exp(A)の11,12,21,22要素のΣを計算すれば良いです。
もう少し頑張って計算して見て下さい。

お礼

ありがとうございます

[Σ(1/k!)*A^k_11,Σ(1/k!)*A^k_12]
[Σ(1/k!)*A^k_21,Σ(1/k!)*A^k_22]
=
[　e^2,e^√2]
[e^√2,　e^3]

の過程がどう求めているのかがわからないのですが
どう求めているのでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.2

Tacosan

もちろん
Σ(1/k!)[A^K]
って書いて終わっちゃダメだけどね. きちんと計算しないと.

回答No.1

info22_

>A^nは求められたのですが
この A^nを(ii)で使います。

>exp(A)をどうやって解くのか、またどう表現するのかがわかりません。

(ii)のexp(A)の定義は
　exp(A)=Σ[k=0～∞] (A^k)/k!
ですから
この定義式に(i)で求めた A^k を代入すだけです。

お礼

ありがとうございます。

すいませんまだよく理解できていません。
A^nが
1/3*[2(4^n-1)+4-4^n √2(4^n-1)]
[ √2(4^n-1) 3(4^n-1)+4-4^n]

となったのですがどう書けばよろしいのでしょうか？
Σを使ってnの所をkにして
Σ(1/k!)[A^K]
と書けばいいのでしょうか？