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行列の固有値に関する問題
次の問題の解き方かヒントお願いします。 Ｑ１．固有値の和はＡのトレースに等しい。つまり、 TrA=Σ（1<=i<=n)aii=λ１＋λ２＋…＋λｎ Ｑ２．ｎ次の正方行列Ａの特性根をλ１、λ２、…、λｎとすると｜Ａ｜＝λ１λ２…λｎ Ｑ３．Ａが正則行列ならtAAは正定値対称の行列である。 Ｑ４．Ａが正定値行列、Ｐが正則行列ならｔＰＡＰも正定値行列である。
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ＰをＡの右固有値ベクトルからなる行列、Ｑを左固有値ベクトルからなる行列とします。Λを対角要素iiがλｉ、その他が０の対角行列とします。ＱＰ＝Ｉ（単位行列）ですから、 Ｑ１． ＴｒＡ＝ＴｒＡＱＰ＝ＴｒＱＡＰ＝ＴｒΛ ＝λ１＋・・・＋λｎ Ｑ２．｜Ｑ｜＝｜Ｐ｜＝１ですから、 ｜Ａ｜＝｜Ｑ｜・｜Ａ｜・｜Ｐ｜ ＝｜Ｑ・Ａ・Ｐ｜ ＝｜Λ｜ ＝λ１・・・λｎ Ｑ３．任意のゼロでないベクトルｘに対して、Ａは正則なので、Ａｘはゼロではない。よって、 ｔｘｔＡＡｘ＝ｔ（Ａｘ）（Ａｘ）＞０ 明らかにｔ（ｔＡＡ）＝ｔＡ（ｔｔＡ）＝ｔＡＡ Ｑ４．任意のゼロでないベクトルｘに対して、 ｙ＝Ｐｘとする。その時、明らかにｙはゼロではなく ｔｘｔＰＡＰｘ＝ｔｙＡｙ＞０ よってｔＰＡＰも正定値である。
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- nubou
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線形代数は 「有限次元線形空間」から始まって「ジョルダンの標準形」で終わるのです 「ジョルダンの標準形」は線形代数の最後の関門なのです 「ジョルダンの標準形」は幾つかの証明方法が有りますが難解なので 一度は理解して後は忘れてもいいから 「任意のｎ次正方行列は適当なｎ次正方正則行列によってジョルダン標準形化され 前記ｎ次正方行列が実行列であって前記前記ｎ次正方行列の固有値がすべて実数ならば 前記ｎ次正方正則行列を実行列とすることができる」 という事実を覚えておいて 実際に標準化できるようにしておけばいいでしょう ジョルダンの標準形はジョルダン細胞（正方行列） ［λ １ ０ ０ ０ ・・・・・・ ０］ ［０ λ １ ０ ０ ０・・・・・ ０］ ［０ ０ λ １ ０ ０ ０ ・・・・ ０］ ［０ ０ ０ λ １ ０ ０ ０ ・・・ ０］ ［ ・・・・・・・・・・・・ ］ ［ ・・・・・・・・・・・・ ］ ［ ・・・・・・・・・ ０ λ １］ ［０ ０ ０ ０ ０ ・・・・・ ０ λ］ （でこぼこでなく正方形である） がすべての固有値λについて対角線上に並び 対角に並んだジョルダン細胞以外はすべて０行列である行列です 同じものが複数並ぶときも有り１ｘ１のジョルダン細胞は実数λである 易しい本にはジョルダンの標準形を省いているものが有りますが だいたいの本には載っています 応用分野によっては 「正規行列はユニタリ行列によって対角化される」 のところまででｏｋの場合もありまが 「制御理論」をマスターしたければジョルダンまでやっておいた方がいいでしょう
お礼
補足回答ありがとうございました。ジョルダンは線形代数の最後の関門なんですね。
補足
nubouさんいつもお世話になっています。No.#1の右固有値ベクトル、左固有値ベクトルというのって何なのかご存知ですか？知っていましたら補足回答よろしくお願いします。
- nubou
- ベストアンサー率22% (116/506)
Ｑ１： Ｐ＝［ｐｉｊ］，Ｑ＝［ｑｉｊ］をそれぞれ任意のｎ次正方行列とすると ｔｒ（Ｐ・Ｑ）＝ Σ（１≦ｉ≦ｎ）・Σ（１≦ｊ≦ｎ）・ｐｉｊ・ｑｊｉ＝ Σ（１≦ｊ≦ｎ）・Σ（１≦ｉ≦ｎ）・ｑｊｉ・ｐｉｊ＝ ｔｒ（Ｑ・Ｐ） 従って ｔｒ（Ａ）＝ ｔｒ（Ｉ・Ａ）＝ ｔｒ（（Ｕ・Ｕ＾（－１））・Ａ）＝ ｔｒ（Ｕ・（Ｕ＾（－１）・Ａ））＝ ｔｒ（（Ｕ＾（－１）・Ａ）・Ｕ）＝ ｔｒ（Ｕ＾（－１）・Ａ・Ｕ）＝ Ｕ＾（－１）・Ａ・Ｕは３角行列であって対角線にＡの固有値が並ぶ 「任意のｎ次正方行列は適当なｎ次正方正則行列によってジョルダン標準形化される」 を使っても良い この定理は悪名高い（有名な）ので忘れる心配がないからである （ジョルダン標準形は３角である）
お礼
さらに細かい説明ありがとうございます。一つ教えて頂きたい事があったので補足に書いておきます。
補足
ジョルダン標準形化って初めて聞いたんですが何のことですか？
- yohsamkai
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補足質問にお答えします。 一般にnxnの正方行列Ａ，Ｂがあるとき ＴｒＡ・Ｂ＝ＴｒＢ・Ａ です。（トレースの定義に戻って計算すれば証明は簡単です） したがって、 ＴｒＡＰＱ＝ＴｒＱＡＰになります。
お礼
補足質問にお答え頂きありがとうございました。一つ分からない事があったので、補足に書いておきます。何度もすいません。よろしくお願いしますm(__)m
補足
No.#1で右固有値ベクトル、左固有値ベクトルという初めて聞く言葉が出てきましたが、これはAの固有ベクトルとどのように違うものなのですか？いったいどんなものなのですか？補足回答よろしくお願いします。
- nubou
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Ｑ１＆Ｑ２： 適当なユニタリ行列ＵによってＵ＾（－１）・Ａ・Ｕを三角行列にすることができる Ｕ＾（－１）・Ａ・ＵとＡの固有値のセットは同じである Ｑ３： （Ａ＾＊・Ａ）＾＊＝Ａ＾＊・ＡだからＡ＾＊・Ａは正値エルミート ｘを０でない任意のｎ次列ベクトルとする Ａが正則だからＡ・ｘ≠０ 従って０＜（Ａ・ｘ）＾＊・（Ａ・ｘ）＝ｘ＾＊・（Ａ＾＊・Ａ）・ｘ Ｑ４： （Ｐ＾＊・Ａ・Ｐ）＾＊＝Ｐ＾＊・Ａ・ＰだからＰ＾＊・Ａ・Ｐは正値エルミート ｘを０でない任意のｎ次列ベクトルとする Ｐが正則だからＰ・ｘ≠０ Ａが正値エルミート行列だから ０＜（Ｐ・ｘ）＾＊・Ａ・（Ｐ・ｘ）＝ｘ＾＊・（Ｐ＾＊・Ａ・Ｐ）・ｘ なおＭ＾＊はＭの複素共役転置
お礼
複素数の範囲まで拡張してもこの問題は成立するんですね。一歩進んだ回答ありがとうございました。納得できましたp(^^)q
お礼
ありがとうございました。
補足
TrAQP=TrQAPのところはどのように変形しているのですか？ Traceに関して教科書などに述べられていないので、いくつか簡単な公式があったらお願いします。