行列解法について

質問

yi=a*exp[-b*xi]
i=1,2,………Nです。

aとbをニュートン法？によって線形化し、行列解法によって求めてください。

分りやすい解説をお願いします。

回答No.5

alice_44 · ベストアンサー

意味不明な補足が続くと思っていたが…　もしかして、
「題意が解らん」という補足要求に対して、
「a や b を xi や yi などで表す」と答え続けている訳か。
そうじゃないだろ。

A No.1 から書き続けていることだが、Y = G A という方程式には、
Y と G がよっぽど都合いい値でない限り、解 A は存在しない。
従って、任意の Y, G に対して A を表す公式など存在しない。

「題意不明」と言っているのは、Y = G A に解が無い場合に
何を答えて欲しいのか が解らない　…ということ。
No.2 補足にあるの解法は、Y = G A に解があろうがなかろうが
何らかの A を算出してしまうが、そのことに何の意味があるのか？
ということだ。

実は、No.2 補足の解法は、Y = G A に解が無いとき、
ベクトル Y - G A の長さが最小になるような A のひとつを
算出するようになっている。このことは、No.3 補足で
質問氏が「最小二乗法」とか「一次回帰」とか言い放っていることと
妙に符合するのだが、質問氏は、何をどこまで理解して、
そのように言っているのだろうか。結構よく解って言っている
ような気がしてならないが。

いづれにしろ、そのような答えが正しいか否かは、題意がそのような
答えを要求しているか否かしだいで決まる。題意を明記せずに、
正解も解法もヘッタクレもありはしない。

…という意味で、再度、
＞ Ｎ連立方程式に解が存在しなかった場合に
＞ どうしろという問題なのかによって、
＞ 意味不明な「行列解法によって」の意味が定まってくる。

お礼

すいません。
また、考え直してきます。
ありがとうございました。

回答No.4

alice_44

＞ xi や yi の値は与えらていないですが

与えられていないの？ それじゃ、a, b を求めようがない気がするが。
yi = a exp(-b xi)　i = 1, 2, …,N　を満たす a, b, xi, yi を全て
求めろってこと？ …そんなの、不可能としか。

＞ とかを使うんじゃないでしょうか？

問題がどんな問題かを特定できないまま、どんな解法を使うのかを
空想しても、あまりに意味が無い。
解法のヒントから遡って、題意を推定するなんて、もはや数学じゃないよ。
だいたい、「最小二乗法」って話は、どこから湧いて出た？

補足

だから、xiやyiなどの文字でaやbを表すということです。

回答No.3

alice_44

ニュートン法てのは、確かに、
関数の巾級数展開を一次で打ち切る方法だけど…
この問題の場合、わざわざ近似誤差を持ち込まなくても、
No.1 No.2 の方法で、厳密に線型化できてしまうから、
一次近似する意義は、あまりない。
Y = (y1, y2, …, yN)',
A = (log a, b)'
と置けばいいんじゃなかろうか。

その上で、No.2 補足の解法だが、その計算で分かるのは、
もし Y = G A に解があったとすれば、それは
A = inv(G' G) G' Y でなくてはならないということだけ。
与えられた Y, G に対して、Y = G A に解 A があるかどうか
については何も言ってないから、
A = inv(G' G) G' Y が解であるかどうかは、未だ判らない。

実際の xi, yi で計算してみると、
求めた A で Y = G A が成立しない場合が多いと思う。
その場合は、Y = G A には解がないことが判る。

そこでポイントになるのが、No.1 にも書いた
解が無いときどうしたい問題なのか？ということだ。
これは、いったいどういう問題なのか。
「行列解法」だけでは、何も伝わってこない。

補足

alice_44さんのやり方だと、logaやbをxiやyiを使って表現するということです。
xiやyiの値は与えらていないですが、xiとyiでlogaやbを求めるということです。
多分、最小二乗法の一次回帰線のaやbを求める時に使うxiやyiの和集合とかを使うんじゃないでしょうか？

回答No.2

alice_44

依然として、題意が判らない。

No.1 に書いたのは、繰り返しになるが、
yi = a exp(-b xi)　　i = 1, 2, …,N
は、両辺の対数をとると、
log yi = log a - b xi　　i = 1, 2, …,N
となって、a と b ではないが
log a と b についての線形方程式になるよ
という話。

それが題意に沿うのかどうかも、
サッパリ解らんけど。

お礼

すいません。
aとbの要素というのは、y=ax+bのaとbです。

補足

Y=GAとして、
G'Y=G'GA
A=inv(G'G)G'Y
で求めるそうです。
G'はGの転置です。
invは逆行列の意味です。
GとG'で正方行列にしています。

Yは、yiが要素となっていて、列ベクトルです。
Aは、aとbが要素で、列ベクトルです。
Gは、線形化しないと分らないんですが、n行2列の行列だと思います。

これで分りますか？

テイラー展開で線形化するのは間違っているんでしょうか？

回答No.1

alice_44

方程式を線形化して a と b を求めるのなら、
ニュートン法？ ではなく、両辺の対数をとって、
log yi = log a - b xi だろうけど。

ただし、log a と b についての
２元Ｎ連立一次方程式になるから、解けるとは限らない。

Ｎ連立方程式に解が存在しなかった場合に
どうしろという問題なのかによって、
意味不明な「行列解法によって」の意味が定まってくる。

判りやすい質問をお願いしたい。

補足

非線形問題をニュートン法(数値計算)により線形化し、行列の解法によって、aとbを求めよ。
ということでした。

自分も問題の意味がよく理解できてません。
でも、これだけしか分ることがありません。
ニュートン法と言われ接線方程式がおもい浮かんだんですが、xがどの値のときの接線なのか分らないので、どうすればいいのか分りません。
線形化なんで、テイラー展開を使い１次の項までを求めればいいのかなとも考えました。
今の場合はマクローリン展開を使いますが、
yi=a-abxi
として、行列の解法で解くのかなと思いました。

回答してくださった、対数を使うというのはなぜですか？
対数を使って何をするんでしょうか？