行列に関する問題です。

質問

問1と問2の(i)はあっていますか？
問2の(ii)がどうしてもわからなかったので教えて頂きたいです。

問1
n×nの単位行列
問2
k=mのときは条件より成立。
k＝mのとき
A^m=I+cm*abtが成立すると仮定する
k=m+1のとき
A^m+1=(I+abt)(I+cm*abt)
=I+cm*abt+abt+cm*abtabt
ここでbtaは
a=(a1,a2,.....an), b=(b1,b2,.....bn)とすると
bta=Σ[k=1,n]akbk
だから
A^m+1=I+(1+cm+Σ[k=1,n]akbk)abtとなる。
(1+cm+Σ[k=1,n]akbk)はスカラーであるので
k=m+1のときも成立。
よって数学的帰納法により与式は成立。

回答No.1

29-Q · ベストアンサー

問1
間違ってます。

単位行列の逆行列は単位行列です。問題の行列は単位行列でないので、逆行列も単位行列ではありません。
n=2,3くらいで実際に逆行列を計算してみると一般のnの場合にどうなるか予想がたつと思います。
予想がたてばあとは証明ですが、ほとんど答えですがhintを書きますのであとは自力で考えてみてください。

hint：与式の行列を1(単位行列)+Bの形にかく。B^kを計算してみて、B^n=Oを示す。すると、
(1+B)(1-B+B^2-・・+(-B)^(n-1))
=1-(-B)^n
=1-O
=1
よって、1+Bの逆行列は。。。

問2

(i)
冒頭、「k=mのときは条件より成立。」の一文は消したほうがいいですが(というか「k=1のとき成立する」の書き間違いですか？k=1の場合は明らかに成立していますが、帰納法が成立する前提なのでちゃんと書いておいたほうがいいでしょう)

その後の議論はabtの2乗がabtの定数倍になることを示すところがミソですね。
ただし、一箇所ケアレスミスがあります。

bta=Σ[k=1,n]akbk
だから
A^m+1=I+(1+cm+Σ[k=1,n]akbk)abtとなる。

は

A^m+1=I+(1+cm(1+Σ[k=1,n]akbk))abtとなる。

の間違いです。

(ii)
α＝Σ[k=1,n]akbkとおく。
(i)の計算から
c[m+1]=1+(α+1)c[m]
という漸化式がわかっている。

これは
(c[m+1] +1/α)=(α+1)(c[m] +1/α)

と同値。

すなわち(c[m] +1/α)が等比数列なので、

(c[m] +1/α)
=(α+1)(c[m-1] +1/α)
=(α+1)^2(c[m-2] +1/α)
・・・
=(α+1)^m(c[0] +1/α)

c[0]=0より、
=(α+1)^m/α

つまり、c[m]=((α+1)^m -1)/α

つまり、c[m]=((1+bta)^m -1)/bta

お礼

回答ありがとうございます。
僕は何を考えていたのでしょう（笑）逆行列が単位行列なんかありませんね。
おかげで、c[m]をもとめるところまでは分かったのですが、exp(At)が求まりません。