行列の問題なのですが、次の問題分があたえられているとき、逆行列の求め方

質問

行列の問題なのですが、次の問題分があたえられているとき、逆行列の求め方がわかりません。やり方を教えてください！！

次の行列をX とおくとき，X^3 － 9X^2 + 24X － 16I を計算せよ．(I は単位行列
とする．)
3 -1 -1
-1 3 -1
-1 -1 3
さらに，計算結果を使うと，X の逆行列が簡単に求まる．どうすればよいのか．（

回答No.1

R_Earl · ベストアンサー

X^3 － 9X^2 + 24X － 16Iの計算結果は多分Oになります。
つまり

X^3 － 9X^2 + 24X － 16I = O

となります。
ここで-16Iを移項してしまえば

X^3 － 9X^2 + 24X = 16I

左辺を因数分解すると

X(X^2 - 9X + 24) = 16I

となります。
両辺を16で割ると

X(X^2 - 9X + 24)/16 = I

Xと(X^2 - 9X + 24)/16をかけると単位行列になるので、
Xの逆行列は(X^2 - 9X + 24)/16となります。

X^3 － 9X^2 + 24X － 16Iの計算結果が本当にOになるかは
確認しておいて下さい。