※ ChatGPTを利用し、要約された質問です（原文：行列の問題を教えてください。）
行列の問題を解く方法
このQ&Aのポイント
行列の問題についての解説と計算方法についてまとめました。
行列の固有値と固有ベクトルの定義から行列の計算方法を示しました。
固有値が1と-1で、それぞれに付随する固有ベクトルが(2, 1)と(1, 1)である行列について説明しました。
行列の問題で解けなくて困っています.
よろしければ教えていただけないでしょうか。
行列に関係する以下の問い(1)～(4)に答えよ。
(1)2行2列の行列をAとする。さらにその固有値をλ1，λ2(λ1≠λ2)とし、それぞれに付随する固有ベクトルを(x1，y1)と(x2，y2)とする。
P≡ ｜x1 x2｜
｜y1 y2｜
と置くと、固有値と固有ベクトルの定義から
AP＝P|λ1 0|
|0 λ2|
と書ける。ここから、
A＝P｜λ1 0｜P^－1
｜ 0 λ2|
および
A^ｎ＝P|λ1 0｜^ｎP^-1
|0 λ2|
となることを示せ。ここでP^-1はPの逆行列、ｎは正の整数、A^ｎは行列Aのｎ乗を示す。
(2)固有値が1と－1である2行2列の行列Bがある。この行列のｎ乗B^ｎを求めよ。さらにその逆行列(B^ｎ)^－1を求めよ。B^ｎと(B＾ｎ)^－1の両方において、ｎが偶数と奇数で答えが異なるので、両者を区別して答えを示せ。必要なら2つの正則な正方行列B1、B2の積の逆行列が
(B1B2)^－1＝B2^－1B1^－1
となることを使え。
(3)固有値が1と－1で、それぞれに付随する固有ベクトルが(2，1)と(1，1)である2行2列の行列Cを求めよ。
(4)xとyを未知数とする次の連立方程式
|3 －4|^21 |x| ＝|10|
|2 －3| |y| |7|
を解け。ここで
|3 －4|^21
|2 －3|
は行列
|3 －4|
|2 －3|
の21乗を表す。
という問題です。
計算過程、解答のほうをどうかよろしくお願いいたします。
