行列の指数関数について

質問

行列の指数関数について

「exp(X)=E+Σ(1/n!)X^nとした時に、exp（ｔA）を求めよ」という問題で、(3×３)行列
(tA)^n=t^n
　(2・2^n-3^n　　　-2^n+3^n　　-2^n+3^n)
　(1-3^n　　　　　　3^n　　　　 -1+3^n)
　(-1+2・2^n-3^n　-2^n+3^n　　1-2^n+3^n)
となって、2^n,3^nをeにした後に上の行列に代入すると、自分で計算した値と答えの値が違くなってしまいます。（a13,a32,a33のところ）
なのでeについて求めた後に、代入したときの計算教えてください。

見づらくて、すいませんm（--）m

回答No.5

alice_44

他人の計算を見て、納得したつもりになっても、
それだけでは、おそらく、次に自力で
できるようにはならない。
前の自分の計算の間違いを自分で説明できれば、
安心してよい。

回答No.4

muturajcp

A=
(1,1,1)
(-2,3,2)
(0,1,2)
=
(0,1,1)(1,0,0)(1,0,-1)
(1,0,1)(0,2,0)(2,-1,-1)
(-1,1,1)(0,0,3)(-1,1,1)

(tA)^n=t^n
(0,1,1)(1,0,0)(1,0,-1)
(1,0,1)(0,2^n,0)(2,-1,-1)
(-1,1,1)(0,0,3^n)(-1,1,1)
=t^n
(2*2^n-3^n,-2^n+3^n,-2^n+3^n)
(1-3^n , 3^n,-1+3^n)
(-1+2*2^n-3^n,-2^n+3^n,1-2^n+3^n)

exp(tA)=
( 2e^{2t}-e^{3t},e^{3t}-e^{2t},e^{3t}-e^{2t} )
( e^t-e^{3t}, e^{3t},e^{3t}-e^t )
(2e^{2t}-e^t-e^{3t},e^{3t}-e^{2t},e^t-e^{2t}+e^{3t})

回答No.3

alice_44

何をやろうとして、どこで間違えたんだか、
あまりにも説明不足なので、サッパリ判らないが…

「2^n, 3^n を e にした後に上の行列に代入すると」
のあたりが、相当怪しげではある。
内容を理解してない算法を、公式暗記で適用しようとして
失敗したような気配が、濃厚に感じられる。

質問文中の式が正しいのだとすると、
A =
　(1　　1　　1)
　(-2　　3　　2)
　(0　　2　　2)
であり、固有値 1, 2, 3 を持つので、
No.2 の (2) の場合になる。
M =
　(0　　1　　1)
　(1　　0　　1)
　(-1　　1　　1)
が使える。

質問氏が、何を間違えたのかを考えるためには、
質問氏の計算を(計算過程つきが望ましいが、最低でも結果だけは)
書いてくれないと、どうにもならない。

回答No.2

ramayana

ご質問のAがどういう行列なのか書いてないので、何にお悩みなのか伝わってきません。

（１）　Aが３次の対角行列で、その対角成分がa,b,cなら、exp(A)は、exp(a),exp(b),exp(c)を対角成分とする対角行列になります。これは、exp(X)の定義から明らかでしょう。

（２）　Bが対角行列でない3次正方行列場合でも、その固有値がa,b,cで、それらが全部違う値のとき、適当な正則行列Mで、B=M^(-1)AMと書くことができます（ジョルダン標準形）。Aは、（１）と同じものです。このときは、

　　exp(B) = M^(-1)exp(A)M

になります。これも、exp(X)の定義から明らかでしょう。

（３）　Bが対角行列でない3次正方行列で、固有値に同じ値のものが２つ以上含まれているときは、ジョルダン標準形が対角行列と限らないので、扱いが複雑になります。

なお、固有値を使わないで行列の指数関数を計算しようとするのは、いたずらに計算が面倒になるだけなので、無謀な試みと思います。

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

行列：Ａはどのような行列なのですか？
いきなり、n乗で書かれても・・・

補足

すいませんでした。

A=
(1 1 1)
(-2 3 2)
(0 1 2)
λ＝1,2,3,
の行列です。わからないのは、
Σ{t^n・2^n}/n!=e^2t-1
Σ{t^n・3^n}/n!=e^3t-1
となると思うのですが、これを(tA)^nに代入した後に、exp(X)の式に代入して計算すると答えが解答と違くなってしまいます。