中学３年数学の面積比の問題です

質問

こんにちは

以下の問題が分りません。詳しく説明していただけませんか？

三角形ＡＢＣにおいて、ＢＤ：ＤＣ＝５：２、ＡＦ：ＦＤ＝２：１である。
三角形ＡＢＦと四角形ＦＤＣＥの面積の比を最も簡単な整数比で表せ。

よろしくおねがいします。

回答No.5

ferien · ベストアンサー

ANo.4です。　入力ミスの訂正です。

＞△ＡＢＤ：△ＡＢＣ＝ＢＤ：ＢＣ＝５：７より、

＞△ＡＣＤ：△ＡＢＣ＝ＤＣ：ＢＣ＝２：７より、△ＡＣＤ＝（２／７）△ＡＢＣ

＞（２）（３）より、
＞四角形ＦＤＣＥ＝△ＦＤＣ＋△ＦＥＣ
＞＝（２／２１）△ＡＢＣ＋（４／５１）△ＡＢＣ

のようにお願いします。

お礼

詳細な説明ありがとうございました。
とても良くわかりました。

回答No.4

ferien

＞三角形ＡＢＣにおいて、ＢＤ：ＤＣ＝５：２、ＡＦ：ＦＤ＝２：１である。
＞三角形ＡＢＦと四角形ＦＤＣＥの面積の比を最も簡単な整数比で表せ。
メネラウスの定理より、
（ＡＥ／ＥＣ）（ＣＢ／ＢＤ）（ＤＦ／ＦＡ）＝１から、
（ＡＥ／ＥＣ）（７／５）（１／２）＝１より、ＡＥ：ＥＣ＝１０：７
頂点Ａと見ると高さは同じだから、
△ＡＢＤ：△ＡＢＣ＝ＡＤ：ＡＣ＝７：５より、
△ＡＢＤ＝（５／７）△ＡＢＣ
△ＡＢＦ：△ＡＢＤ＝ＡＦ：ＡＤ＝２：３より、
△ＡＢＦ＝（２／３）△ＡＢＤ＝（２／３）×（５／７）△ＡＢＣ
＝（１０／２１）△ＡＢＣ　…（１）
△ＡＣＤ：△ＡＢＣ＝７：２より、△ＡＣＤ＝（２／７）△ＡＢＣ
△ＦＤＣ：△ＡＣＤ＝ＦＤ：ＡＤ＝１：３より、
△ＦＤＣ＝（１／３）△ＡＣＤ＝（１／３）×（２／７）△ＡＢＣ
＝（２／２１）△ＡＢＣ　…（２）
△ＡＦＣ：△ＡＣＤ＝ＡＦ：ＡＤ＝２：３より、
△ＡＦＣ＝（２／３）△ＡＣＤ＝（２／３）×（２／７）△ＡＢＣ
＝（４／２１）△ＡＢＣ
△ＦＥＣ：△ＡＦＣ＝ＥＣ：ＡＣ＝７：１７より、
△ＦＥＣ＝（７／１７）△ＡＦＣ＝（７／１７）×（４／２１）△ＡＢＣ
＝（４／５１）△ＡＢＣ　…（３）
（２）（３）より、
四角形ＦＤＣＥ＝△ＦＤＣ＋△ＦＥＣ
＝（４／２１）△ＡＢＣ＋（４／５１）△ＡＢＣ
＝（６２／２１×１７）△ＡＢＣ
（１）より、
よって、△ＡＢＦ：四角形ＦＤＣＥ
＝１０／２１：６２／２１×１７＝１０×１７：６２＝８５：３１

図で確認してみて下さい。

回答No.3

mayah1

ごめんなさい。ご指摘のとおりです。勘違いしていました。
Dr-Fieldさんの解答で正しいはずです。

お礼

ありがとうございました。
また、宜しくお願いします。

回答No.2

Dr-Field

△ABC＝１とすると、△ABD＝5/7、△ADC＝2/7、△ABF＝5/7×2/3＝10/21、△BFD＝5/7×1/3＝5/21、△AFC＝△ADC×2/3＝2/7×2/3＝4/21→ACを底辺とした△AFC：△ABCとの比較で、EF:FB＝4:17

□EFDC＝△ABC－△ABD－△AEF＝１－5/7－（△ABF×4/17）＝1－5/7－（10/21×4/17）＝62/(17×21)

△ABF：□EFDC＝10/21：62/(17×21)＝170:62＝85:31・・・でよろしいでしょうか。

お礼

EF:FB＝4:17
これが分かれば、簡単に解けますね。

ありがとうございました。

回答No.1

mayah1

三角形ABCの面積を1とすると、

BD:DC = 5:2より、
三角形ABD = 5/7

AF:FD = 2:1より、
三角形ABF = 5/7 * 2/3 = 10/21

また、
BD:DC = 5:2より、
三角形ADC = 2/7

AF:FD = 2:1より、
三角形AFE = 2/7 * 2/3 = 4/21

四角形FDCE = 三角形ABC - (三角形ABD + 三角形AFE)
= 1 - (5/7 + 4/21) = 2/21

よって、
三角形ABF:四角形FDCE = 10/21 : 2/21 = 5:1

になるはずです。

補足

> AF:FD = 2:1より、
> 三角形AFE = 2/7 * 2/3 = 4/21
すいません。良くわかりません。

AF:FD = 2:1より、
三角形AFC = 2/7 * 2/3 = 4/21
となるのではないでしょうか？