数学の問題を教えてください！

質問

私は中3の受験生です。

数学の入試の過去問題を解いているのですが、わからない問題があって困っています。

わかりやすく解説していただけるととってもありがたいです。

よろしくお願いします。

問題

図のように、AD=3cm、BC=2√2cm、CD=√2cm、角BCD=90°の四角形ABCDがあり、角BAC=角BDCである。
線分ACと線分BDの交点をEとする。
このとき、次の問いに答えよ。

1.線分BDの長さを求めよ

2.三角形EABと三角形EDCの面積の比を最も簡単な整数の比で表せ。
また、三角形EBCと三角形EADの面積の比を最も簡単な整数の比で表せ。

3.三角形EABの面積を求めよ

回答No.8

shuu_01

No.6 の僕の回答が間違ってました

△QBE と △ECD が相似と考えたまでは良かったのですが、

本当は AE：ED ＝ 1：√2 なのに
間違えて BE：ED ＝ 1：√2 と計算してしまい、間違ってました

ごめんなさい

No.5 さん が正解です

お騒がせしました

お礼

いえいえ！
回答ありがとうございました(o^^o)

回答No.7

shuu_01

No.5 さんと 僕の No.6 の回答は

問 1、問 2 は一致してるのに、問 3. が合いません

No.5 さんの計算は正しく、間違いがあるように思われません

でも、No.6 の僕の答えも間違いがあるように思われず、

とっても不思議です

誰かどうなってるのか教えてください

補足

回答を確認したところ、

答.3/5 (0.6)

となっていましたので、No.5の方が正解みたいです。

回答No.6

shuu_01

（１） これは三平行の定理を知ってたら、簡単
　podersnow24 さんには、「勉強したばっかり、ラッキー！」
　って問題です
　角 BCD が直角なので
　BD^2 ＝ （√2）^2 ＋ （2√2）^2 ＝ 2 ＋ 8 ＝ 10
　BD ＝ √10

（２） △ BCD を含む外接円がひらめく必要があります
まず、角 BCD が直角なので、BD は直径となります

△ABD を見てみると、これも BD が直径ですので、
角 BAD も直角です

そこでまた三平行の定理を当てはめ、

BD^2 ＝ AB^2 ＋ 3^2
10 ＝ AB^2 ＋9
AB^2 ＝ 1
AB ＝ 1

円周角の定理から 角BAE と 角BDC が同じ、
角AEB、角CED も同じなので、
△EAB と △EDC は相似形
辺の長さの比が 1：√2 なので、面積の比は その２乗 1：2

△EBC と △EAD も相似形なので
１辺の比は 2√2：3、面積の比は 8：9

（３） 前述のように △AEB と △CED が相似なので、
BE：ED ＝AB：CD
ED ＝ 直径 － BE ＝ √10 － BE
AB ＝ 1、CD ＝ √2 を代入して

BE：（√10 － BE） ＝ 1：√2
√2 BE ＝ √10 － BE
BE ＝ √10 / （√2 ＋ 1） ＝ √10（√2 － 1）

△ABD の面積は 1/2 × 1 × 3 ＝ 3/2

△ABE の面積は △ABD の面積の BE / BD 倍なので
3/2 × √10（√2 － 1） / √10 ＝ 3/2 （√2 － 1）

～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～

検算してないので、ちょっと自信ありませんけど

PS： スキーを一緒に習ってた中学生の女の子は
　　　プリクラ好きだったけど、
　　　勉強は大っ嫌いで、Q&A サイトで質問する気力さえ
　　　ありませんでした
　　　試験の前でも一緒に UNO やってたｗ

お礼

私、最初「^」の記号の意味を理解できてなくて…
それでこんがらがってしまったのですが、理解したらスラスラと問題も理解することができてよかったです。
回答ありがとうございました！

回答No.5

yyssaa

1.線分BDの長さを求めよ
＞BD=√(BC^2+CD^2)=√(8+2)=√10(cm)・・・答
2.三角形EABと三角形EDCの面積の比を最も簡単な整数の比で表せ。
＞∠BAC=∠BDCから、4点ABCDは同一円周上にあり、∠BCD=90°
からBDはこの円の直径と分かる。よって∠BAD=90°
AB=√(BD^2-AD^2)=√(10-9)=1。
△EAB∽△EDCでAB/CD=1/√2(相似比)だから、面積比は1/2・・・答
また、三角形EBCと三角形EADの面積の比を最も簡単な整数の比で表せ。
＞∠EBC=∠EAD(円周角)から△EBC∽△EADでBC/AD=2√2/3(相似比)
だから、面積比は8/9・・・答
3.三角形EABの面積を求めよ
＞△EABの面積をSとすると、△ECDの面積は2S。
△EADの面積=△ABDの面積-△ABEの面積=(1/2)*3*1-S=3/2-S
△EBCの面積=△EADの面積×(8/9)=(8/9)*(3/2-S)
△ECDの面積+△EBCの面積=△BCDの面積=(1/2)*(2√2)*(√2)=2だから
2S+(8/9)*(3/2-S)=2、これを解いて0.6(cm^2)・・・答

お礼

丁寧に説明ありがとうございます。
おかげできっちり理解することができました！

回答No.4

shuu_01

あ、円周角の定理
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E8%A7%92

http://ja.wikibooks.org/wiki/%E4%B8%AD%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E6%95%B0%E5%AD%A6_3%E5%B9%B4%E7%94%9F-%E5%9B%B3%E5%BD%A2/%E5%86%86%E5%91%A8%E8%A7%92

も理解しておく必要があります

お礼

わざわざURLまで貼ってくださってありがとうございます！

回答No.3

shuu_01

今日、回答しましたが、この問題も三角形の外接円の基礎知識
三平行の定理 （ピタゴラスの定理）を使います

下の図を見て、ちょっと自分で考えてみてください

お礼

なるほど！
円を書けばわかりやすいですね！
ありがとうございます。

回答No.2

yosinonn

こんにちは私も同じ中学三年です。
一つ一わかりしだい説明します。すいません
1
直角三角形で使用できる三平方の定理を使用します。

斜辺(一番ながい辺)をa、一番短い辺をb、もうひとつの辺をc としたときa２乗=b２乗+c２乗になるってやつです。
それを利用して辺BD２乗=DC２乗+BC２乗でだします。
ルート2の２乗は2、2ルート2の２乗は8足して10。この10はBDの２乗なのでルート10に直し、終了です。
ぱっと書いたので計算ミスがあるかもです確認してみて下さい。

一緒に頑張りましょう！

お礼

ぜんぶの説明を文章で説明してくださって、とってもわかりやすかったです！
回答ありがとうございました(*´∇｀*)

お互い受験がんばりましょう～