相似な図形の面積比

質問

1辺の長さが1の正五角形ABCDEにおいて、ACとBEの交点をFとするとき、次のものを求めよ。
(1) ∠BFCの大きさ
(2) 対角線ACの長さ
(3) 正五角形ABCDEの5本の対角線が内部に作る正五角形と、もとの正五角形との面積比

(1)△ABCにおいて ∠ABC=108゜
BA=BCから ∠BAC=36゜
同様に、△ABEにおいて ∠ABE=36゜
ゆえに ∠BFC=72゜

(2) AC=xとする。
△ABF∽△ACBであるから
AB:AC=AF:AB
すなわち 1:x=(x-1):1
よって x^2-x-1=0
これを解いて x=(1±√5)/2
x>0であるから x=AC=(1+√5)/2

(3) ACとBDの交点をGとすると、【AF=CG】で、CF=1であるから FG=AC-2AF=AC-2(AC-CF)=(3-√5)/2
よって、内部の五角形と、もとの五角形の相似比は、
(3-√5):2となるから、求める面積比は
(7-3√5):2

(1)、(2)は理解できたのですが、(3)の【 】のところのAF=CGが成り立つ理由が理解することができなかったので、質問しました。

よろしくお願いします。

回答No.1

pasocom · ベストアンサー

＞(3)の【 】のところのAF=CGが成り立つ理由が理解することができなかった。
△ABFと△BCG　は「合同」です。簡単に照明できると思います。（一辺と両端の角度の一致。）。よってAF=GC　です。

お礼

回答ありがとうございます。
理解できました。