数学の問題

質問

[1]△ＡＢＣの辺ＢＣ，ＣＡ，ＡＢを１：２に内分する点をそれぞれＤ，Ｅ，Ｆとする。線分ＡＤとＢＥの交点をＰ、線分ＢＥとＣＦの交点をＱ、線分ＣＦとＡＤの交点をＲとする。

（1）ＡＲ：ＲＰ：ＰＤを最も簡単な整数比で表せ。
（2）△ＰＱＲと△ＡＢＣの面積比を求めよ

[２] 問題[1]において ＢＤ：ＤＣ＝ＣＥ：ＥＡ＝ＡＦ：ＦＢ＝t：1-t （ただし０＜ｔ＜１/２）
とした場合△ＰＱＲと△ＡＢＣの面積比をtを用いて表せ。

（注） 問題[1]は問題[2]でt=1/3とした場合である

[1]に（１）で私が解いてでた答えが３：３：１になりました。
問題２で確認したら違うみたいでした。

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回答No.5

ferien · ベストアンサー

ANo.2ANo.3です。［１］の解き方に従ってｔを使って表してみました。

＞［２］] 問題[1]において ＢＤ：ＤＣ＝ＣＥ：ＥＡ＝ＡＦ：ＦＢ＝t：1-t （ただし０＜ｔ＜１/２）
＞とした場合△ＰＱＲと△ＡＢＣの面積比をtを用いて表せ。

メネラウスの定理とベクトルを使って出しました。
（ＡＦ／ＦＢ）（ＢＣ／ＣＤ）（ＤＲ／ＤＡ）＝１より、
（ｔ／１－ｔ）（１／１－ｔ）（ＤＲ／ＲＡ）＝から、ＤＲ：ＲＡ＝（１－ｔ）^2：ｔ　…（ア）
（ＢＤ／ＤＣ）（ＣＡ／ＡＥ）（ＥＰ／ＰＢ）＝１より、
同様にして、ＥＰ：ＰＢ＝（１－ｔ）^2：ｔだから、
ＢＥ：ＰＢ＝｛（１－ｔ）^2＋ｔ｝：ｔ＝（ｔ^2－ｔ＋１）：ｔ
ＡＤ＝（１－ｔ）ＡＢ＋ｔＡＣ
Ａ，Ｐ，Ｄは、一直線上にあるから、ＡＰ＝ｋＡＤとおける
ＡＰ＝（１－ｔ）ｋＡＢ＋ｔｋＡＣ　…（１）
ＢＰ＝｛ｔ／（ｔ^2－ｔ＋１）｝ＢＥより、
ＡＰ－ＡＢ＝｛ｔ／（ｔ^2－ｔ＋１）｝（ＡＥ－ＡＢ）
ＡＰ＝［１－｛ｔ／（ｔ^2－ｔ＋１）｝］ＡＢ＋｛ｔ／（ｔ^2－ｔ＋１）｝×（１－ｔ）ＡＣ
＝｛（１－ｔ）^2／（ｔ^2－ｔ＋１）｝ＡＢ＋｛（ｔ（１－ｔ）／（ｔ^2－ｔ＋１）｝ＡＣ　…（２）
（１）（２）を係数比較して、
ｔｋ＝｛（ｔ（１－ｔ）／（ｔ^2－ｔ＋１）｝
よって、ｋ＝（１－ｔ）／（ｔ^2－ｔ＋１）
ＡＰ＝ｋＡＤだから、ＡＰ：ＡＤ＝（１－ｔ）：（ｔ^2－ｔ＋１）…（イ）
（ア）より、ＡＲ：ＡＤ＝ｔ：｛（１－ｔ）^2＋ｔ｝＝ｔ：（ｔ^2－ｔ＋１）
これと（イ）ＲＰ＝ＡＰ－ＡＲ＝（１－ｔ）－ｔ＝１－２ｔ
（イ）より、ＰＤ＝ＡＤ－ＡＰ＝（ｔ^2－ｔ＋１）－（１－ｔ）＝ｔ^2
よって、ＡＲ：ＲＰ：ＰＤ＝ｔ：（１－２ｔ）：ｔ^2　
同様に、ＣＱ：ＱＲ：ＲＦ＝ｔ：（１－２ｔ）：ｔ^2
（０＜ｔ＜１/２より、１－２ｔ＞０）

頂点をＡと見ると、高さが同じだから、
△ＡＣＤ：△ＡＢＣ＝ＤＣ：ＢＣ＝（１－ｔ）：１より、△ＡＣＤ＝（１－ｔ）△ＡＢＣ
頂点をＣと見ると、
△ＣＲＰ：△ＡＣＤ＝ＲＰ：ＡＤ＝（１－２ｔ）：（ｔ^2－ｔ＋１）より、
△ＣＲＰ＝｛（１－２ｔ）／（ｔ^2－ｔ＋１）｝×（１－ｔ）△ＡＢＣ
頂点をＰと見ると、
△ＰＱＲ：△ＣＲＰ＝ＰＱ：ＣＲ＝（１－２ｔ）：（１－ｔ）より、
△ＰＱＲ＝｛（１－２ｔ）／（１－ｔ）｝×｛（１－２ｔ）／（ｔ^2－ｔ＋１）｝×（１－ｔ）△ＡＢＣ
＝（１－２ｔ）^2／（ｔ^2－ｔ＋１）
よって、△ＰＱＲ：△ＡＢＣ＝（１－２ｔ）^2：（ｔ^2－ｔ＋１）

回答No.4

yyssaa

[1]△ＡＢＣの辺ＢＣ，ＣＡ，ＡＢを１：２に内分する点をそれぞれＤ，Ｅ，Ｆとする。
線分ＡＤとＢＥの交点をＰ、線分ＢＥとＣＦの交点をＱ、線分ＣＦとＡＤの交点をＲとする。
（1）ＡＲ：ＲＰ：ＰＤを最も簡単な整数比で表せ。
＞メネラウスの定理により
(AF/FB)*(BC/CD)*(RP+PD)/AR=1=(1/2)*(3/2)*(RP+PD)/AR
=(3/4)*(RP+PD)/AR　→　(RP+PD)/AR=4/3
　→　3(RP+PD)=4AR・・・(ア)
(AE/EC)*(CB/BD)*PD/(AR+RP)=1=(2/1)*(3/1)*PD/(AR+RP)
=6PD/(AR+RP)　→　6PD=AR+RP・・・(イ)
(ア)(イ)からRP及びPDをARで表すとRP=AR,PD=AR/3、
よって、AR:RP:PD=AR:AR:AR/3=3:3:1・・・答え
（2）△ＰＱＲと△ＡＢＣの面積比を求めよ。
△ABCの面積(単に△ABCと表す。以下同じ)をSとすると、
△ABD=△BCE=△CAF=S/3(いずれも△ABCと高さが共通なので、
面積比は底辺の長さの比になる。以下同様）。
(1)の結果と同様に、BP:PQ:QE=CQ:QR:RF=3:3:1が成り立つので、
△ABD/△BDP=△BCE/△CEQ=△CAF/△AFR=7/1から
△BDP=△CEQ=△AFR=(S/3)/7=S/21、よって
△PQR=△ABC-△ABD-△BCE-△CAF+△AFR+△BDP+△CEQ
=S-3*(S/3)+3*(S/21)=S/7
以上から△ＰＱＲと△ＡＢＣの面積比=(S/7):S=1:7・・・答え
[２] 問題[1]において ＢＤ：ＤＣ＝ＣＥ：ＥＡ＝ＡＦ：ＦＢ＝t：1-t （ただし０＜ｔ＜１/２）
とした場合△ＰＱＲと△ＡＢＣの面積比をtを用いて表せ。
（注） 問題[1]は問題[2]でt=1/3とした場合である
＞簡単のため途中までの一部を1-t=sとして計算する。
△ABC=Sとして△ABD=△BCE=△CAF=tS
(AF/FB)*(BC/CD)*(RP+PD)/AR=1=(t/s)*(1/s)*(RP+PD)/AR
=(t/s^2)*(RP+PD)/AR　→　(RP+PD)/AR=(s^2)/t
　→　t(RP+PD)=(s^2)AR・・・(ア)
(AE/EC)*(CB/BD)*PD/(AR+RP)=1=(s/t)*(1/t)*PD/(AR+RP)
=(s/t^2)*PD/(AR+RP)　→　(s/t^2)PD=AR+RP・・・(イ)
(ア)(イ)からRP及びPDをARで表すと
RP=AR{(s^3-t^3)/(t^3+st)}、PD=AR{t(s^2+t)/(t^2+s)}、よって
AR:RP:PD=AR:AR{(s^3-t^3)/(t^3+st)}:AR{t(s^2+t)/(t^2+s)}
={(t^3+st)(t^2+s)}:{(t^2+s)(s^3-t^3)}:{(t^3+st)t(s^2+t)}
BP:PQ:QE=CQ:QR:RF==AR:RP:PD
={(t^3+st)(t^2+s)}:{(t^2+s)(s^3-t^3)}:{(t^3+st)t(s^2+t)}
=X:Y:Zとおくと
△ABD/△BDP=△BCE/△CEQ=△CAF/△AFR=(X+Y+Z)/Z、
△ABD=△BCE=△CAF=tSから△BDP=△CEQ=△AFR=Z*△ABD/(X+Y+Z)
=tSZ/(X+Y+Z)、よって
△PQR=△ABC-△ABD-△BCE-△CAF+△AFR+△BDP+△CEQ
=S-3*tS+3*tSZ/(X+Y+Z)
△PQRと△ABCの面積比={S-3*tS+3*tSZ/(X+Y+Z)}/S
=1-3*t+3*tZ/(X+Y+Z)=1-3*t{1-Z/(X+Y+Z)}=1-3*t{(X+Y)/(X+Y+Z)}
X=(t^3+st)(t^2+s)、Y=(t^2+s)(s^3-t^3)、Z=(t^3+st)t(s^2+t)、
s=1-tとしてこの比を計算すると
1-3*t{(X+Y)/(X+Y+Z)}=1-3t(-t^5+3t^4-5t^3+5t^2-3t+1)
/(t^6-3t^5+6t^4-7t^3+6t^2-3t+1)
=(2t-1)^2/(t^2-t+1)
△PQRと△ABCの面積比=(2t-1)^2/(t^2-t+1)・・・答え

回答No.3

ferien

ANo.2です。

＞チェバをつかって
＞BD/BC*AF/BA*AP/ADとおいてときました
これで答えは出ないと思います。ＡＰ：ＡＤ＝６：７です。

メネラウスの定理とベクトルを使って出しました。
（ＡＦ／ＦＢ）（ＢＣ／ＣＤ）（ＤＲ／ＤＡ）＝１より、
（１／２）（３／２）（ＤＲ／ＲＡ）＝から、ＤＲ：ＲＡ＝４：３　…（ア）
（ＢＤ／ＤＣ）（ＣＡ／ＡＥ）（ＥＰ／ＰＢ）＝１より、
同様にして、ＥＰ：ＰＢ＝４：３だから、ＢＥ：ＰＢ＝７：３
ＡＤ＝(2/3)ＡＢ＋(1/3)ＡＣ
Ａ，Ｐ，Ｄは、一直線上にあるから、ＡＰ＝ｔＡＤとおける
ＡＰ＝(2/3)ｔＡＢ＋(1/3)ｔＡＣ　…（１）
ＢＰ＝(3/7)ＢＥより、
ＡＰ－ＡＢ＝(3/7)（ＡＥ－ＡＢ）
ＡＰ＝ＡＢ－(3/7)ＡＢ＋(3/7)ＡＥ
＝(4/7)ＡＢ＋(3/7)×(2/3)ＡＣ
＝(4/7)ＡＢ＋(2/7)ＡＣ　…（２）
（１）（２）を係数比較して、
(2/3)ｔ＝4/7，(1/3)ｔ＝2/7
よって、ｔ＝６／７
ＡＰ＝(6/7)ＡＤだから、ＡＰ：ＡＤ＝６：７　…（イ）
（ア）より、ＡＲ：ＲＤ＝３：４より、ＡＲ：ＡＤ＝３：７
これと（イ）より、ＡＲ：ＡＰ＝３：６より、ＡＲ：ＲＰ＝３：３
（イ）より、ＡＰ：ＰＤ＝６：１
よって、ＡＲ：ＲＰ：ＰＤ＝３：３：１（図に描けばすぐ分かります。）

ＣＱ：ＱＲ：ＲＦも同じようにできます。

回答No.2

ferien

＞[1]△ＡＢＣの辺ＢＣ，ＣＡ，ＡＢを１：２に内分する点をそれぞれＤ，Ｅ，Ｆとする。
＞線分ＡＤとＢＥの交点をＰ、線分ＢＥとＣＦの交点をＱ、線分ＣＦとＡＤの交点をＲとする。

＞（1）ＡＲ：ＲＰ：ＰＤを最も簡単な整数比で表せ。

＞[1]に（１）で私が解いてでた答えが３：３：１になりました。
＞問題２で確認したら違うみたいでした。
その答えでいいと思います。同様にして、
ＣＱ：ＱＲ：ＲＦ＝３：３：１です。
＞（2）△ＰＱＲと△ＡＢＣの面積比を求めよ
頂点をＡと見ると、高さが同じだから、
△ＡＣＤ：△ＡＢＣ＝ＤＣ：ＢＣ＝２：３より、△ＡＣＤ＝(2/3)△ＡＢＣ
頂点をＣと見ると、
△ＣＲＰ：△ＡＣＤ＝ＲＰ：ＡＤ＝３：７より、△ＣＲＰ＝(3/7)△ＡＣＤ＝(3/7)×(2/3)△ＡＢＣ
頂点をＰと見ると、
△ＰＱＲ：△ＣＲＰ＝ＲＱ：ＣＲ＝３：６＝１：２より、
△ＰＱＲ＝(1/2)△ＣＲＰ＝(1/2)×(3/7)×(2/3)△ＡＢＣ＝(1/7)△ＡＢＣ
よって、△ＰＱＲ：△ＡＢＣ＝１：７

＞[２] 問題[1]において ＢＤ：ＤＣ＝ＣＥ：ＥＡ＝ＡＦ：ＦＢ＝t：1-t （ただし０＜ｔ＜１/２）
＞とした場合△ＰＱＲと△ＡＢＣの面積比をtを用いて表せ。
＞（注） 問題[1]は問題[2]でt=1/3とした場合である
だから、１＝３ｔ、７＝７×３ｔ＝２１ｔ
よって、△ＰＱＲ：△ＡＢＣ＝１：２１ｔ

ではどうでしょうか？

回答No.1

asuncion

＞[1]に（１）で私が解いてでた答えが３：３：１になりました。

どんな風に解きましたか？

補足

チェバをつかって
BD/BC*AF/BA*AP/ADとおいてときました