三角形の面積

質問

問題
図で、AB＝４、AC＝５、BD：DC＝１：２、∠ADB＝９０°のとき、△ABCの面積を求めなさい。

解説ではADの長さを三平方の定理でもとめていますが、
ADの長さを、BD：DC＝１：２
AB４ｃｍ×DC２＋AC５ｃｍ×BD１/BD＋DC＝ADの長さ
これではダメなんですか？
たしかベクトルを少しやったときに、ベクトルの内分でこのようなものがあったとおもうのですが、これではダメですか？
まったく別ものですか？
教えてください。

回答No.6

alice_44 · ベストアンサー

間違いを指摘するだけではナニなので、
答えまでの経路も書いておきましょうか。
正しいほうの式 (ベクトルAB×DC＋ベクトルAC×BD)/(BD＋DC)＝ベクトルAD
に BD：DC＝1：2 を使うと、まず
ベクトルAD＝(2/3)ベクトルAB＋(1/3)ベクトルAC が得られます。

この式の両辺とそれ自身の内積を考えると、
ベクトルAD・ベクトルAD＝{(2/3)ベクトルAB＋(1/3)ベクトルAC}・{(2/3)ベクトルAB＋(1/3)ベクトルAC}
＝(2/3)^2ベクトルAB・ベクトルAB＋2(2/3)(1/3)ベクトルAB・ベクトルAC＋(1/3)^2ベクトルAC・ベクトルAC
と展開できます。同じベクトルどうしの内積は、長さの二乗なので、
|AD|^2＝(4/9)(4^2)＋(4/9)ベクトルAB・ベクトルAC＋(1/9)(5^2) と判ります。

あとは、ベクトルAB・ベクトルAC の値が判るとよいですね。
それには、AD⊥BC から 0＝ベクトルAD・ベクトルBC を使って、
0＝{(2/3)ベクトルAB＋(1/3)ベクトルAC}・{ベクトルACーベクトルAB}
＝(-2/3)|ベクトルAB|^2＋(2/3-1/3)ベクトルAB・ベクトルAC＋(1/3)|ベクトルAC|^2
＝(-2/3)(4^2)＋(1/3)ベクトルAB・ベクトルAC＋(1/3)(5^2)
よって、ベクトルAB・ベクトルAC＝3{(2/3)(16)ー(1/3)(25)}＝7 です。

これを上の式へ代入して、
|AD|^2＝(4/9)(16)＋(4/9)(7)＋(1/9)(25)＝13。
よって、AD＝√13 となります。

お礼

回答ありがとうございました。
教えてくださった方法で計算したら、確かに計算できました。
かなり時間がかかりましたが。
丁寧に計算式を書いていただきありがとうございました。

回答No.7

ferien

＞図で、AB＝４、AC＝５、BD：DC＝１：２、∠ADB＝９０°のとき、△ABCの面積を求めなさい。

ＢＣ＝ｘとおくと、ＢＤ＝(1/3)ｘ，ＤＣ＝(2/3)ｘ
ＡＤ^2＝ＡＢ^2－ＢＤ^2＝ＡＣ^2－ＤＣ^2だから、
４^2－（(1/3)ｘ）^2＝５^2－（(2/3)ｘ）^2
１６－(1/9)ｘ^2＝２５－(4/9)ｘ^2
(1/3)ｘ^2＝９より、ｘ^2＝２７，　ｘ＝３√３より、ＢＣ＝３√３
ＡＤ^2＝１６－(1/9)×２７＝１３より、ＡＤ＝√１３
△ＡＢＣの面積＝(1/2)×３√３×√１３＝３√３９／２

でどうでしょうか？

ベクトルだと、ＡＤ＝(2/3)ＡＢ＋（1/3)ＡＣだから、
｜ＡＤ｜^2＝(1/9)｜ＡＢ｜^2＋２・(2/3)・（1/3)（ＡＢ・ＡＣ）＋(1/9)｜ＡＣ｜^2
（ＡＢ・ＡＣ）が分からないとＡＤの長さは求められないと思います。
ＡＢ・ＡＣ＝｜ＡＢ｜｜ＡＣ｜cos∠ＢＡＣで、cos∠ＢＡＣはＢＣの長さが分かれば求まります。
上の方法で、ＢＣは求められますが、ＡＤの長さを出すには、
ベクトルを使わない方が簡単だと思います。

お礼

回答ありがとうございました。
参考になりました。
本当にありがとうございます。

回答No.5

178-tall

>…ベクトルの内分でこのようなものがあったとおもうのですが、これではダメですか？

「三平方の定理」や余弦定理そのままの方が、迷路に入りこむリスクは少いのでしょうね。

「ベクトルの内分」なら？
A を始点とし、B, C, D へ向かうベクトル b, c, d で試してみますか。

[題意]
　d = a + (2/5)*(b-a) が (b-a) に直交：つまり　(d・a) = (d・b)
　ただし、(a・a) = 4^2,　(b・b) = 5^2

[勘定]
　(1) (d・a) = (a + (2/5)*(b-a) ・a) = (4^2)*(3/5) + (2/5)*(b・a)
　　　(d・b) = (a + (2/5)*(b-a) ・b) = (a・b) - (2/5)*5^2
　の両者を等置して、(a・b) の値を得る。
　(2) あとは、余弦定理で。
　　　|BC|^2 = (aa)+(bb)-2(ab)
　…かな？

お礼

返事が遅くなり申し訳ありませんでした。
ありがとうございます。

回答No.4

kagakusuki

AB＝４・・・・・(1)
AC＝５・・・・・(2)

BD：CD＝１：２より
CD＝2×BD・・・・・(3)

三平方の定理より
AD^2＝AB^2－BD^2・・・・・(4)
AD^2＝AC^2－CD^2・・・・・(5)

　後は、式(1)～式(5)を使った連立方程式を解く事で、BD、CD、ADの値を求めてから、(BD＋CD)×AD÷2で面積を求めれば宜しいかと思います。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.3

alice_44

ベクトルの内分で習ったのは、
(ベクトルAB×DC＋ベクトルAC×BD)/(BD＋DC)＝ベクトルAD
だったはずです。ベクトルの和と長さについて、
ベクトルα＋ベクトルβ＝ベクトルγ のとき
αの長さ＋βの長さ＝γの長さ は、一般に成り立ちませんから、
(ABの長さ×DC＋ACの長さ×BD)/(BD＋DC)＝ADの長さ
であるとは言えません。
それが成り立つのは AB と AC が平行なときだけだから、
ABCが三角形になっているときには、成り立たないでしょう。

お礼

回答ありがとうございます。
参考になりました。

回答No.2

suko22

ベクトルを使ってＡＤベクトルを表すと、ＢＤ：ＤＣ＝1：2より内分の公式を利用すると
ＡＤ→＝（2ＡＢ→＋ＡＣ→）/3
となります。

ベクトルは大きさと向きを持った量です。
これにそのままＡＢ＝4やＡＣ＝5は代入できません。これは大きさだけを表しているからです。表記も違いますよね。

ベクトルは成分で表せます。例えばＯＰ→＝（2,3）など。これは座標平面上で向きが（2,3）で大きさ（長さ）が√13であることを示しています。

それで、ベクトルから大きさだけを求めたい場合には、通常次のような内積の公式を考えます。
ＡＤ→・ＡＤ→＝｜ＡＤ→｜｜ＡＤ→｜cos0°（ＡＤ→とＡＤ→のなす角は0°）
よって、｜ＡＤ→｜＾2＝ＡＤ→・ＡＤ→となります。
これを利用すればＡＤ→の大きさ（長さ）が出ます。

ちょっとやってみると、
｜ＡＤ→｜＾2＝｛（2ＡＢ→＋ＡＣ→）/3｝・｛（2ＡＢ→＋ＡＣ→）/3｝
　　　　　　＝4｜ＡＢ→｜^2 /9－2＋（4ＡＢ→・ＡＣ→）/9＋｜ＡＣ→｜＾2 /9

ここでＡＢ→・ＡＣ→＝｜ＡＢ→｜｜ＡＣ→｜cosθ（θはＡＢ→とＡＣ→のなす角）
　cosθがどうもとめていいのかよくわからない。行き詰る。

＞まったく別ものですか？
まったく別のもではないですが、使い方が全く間違ってます。もう一度確認です。ベクトルは向きと大きさを持った量です。ＡＢ→＝4という書き方は間違っています。この場合は｜ＡＢ→｜＝4と表現しなければなりません。

よく考えてみてください。

普通に三平方の定理をつかいましょう。

お礼

回答ありがとうございました。
＞ベクトルは大きさと向きを持った量です。
納得しました。
ベクトルの大きさだけを求めたい場合はない席の公式を使えばよいということが分かったので、とても参考になりました！
ありがとうございます。
自分で計算したら、三平方の定理を使ったほうが確かに早いです。
普通に三平方の定理を使います

回答No.1

asuncion

＞ADの長さを、BD：DC＝１：２
＞AB４ｃｍ×DC２＋AC５ｃｍ×BD１/BD＋DC＝ADの長さ
＞これではダメなんですか？

正解に至るルートは、1つとは限りません。
その考え方で、三平方の定理の場合と同じ答えが出れば、
全く問題ありません。

お礼

お返事遅くなりました。
回答ありがとうございます。