中学 数学 面積の問題

質問

友達から、問題を出されたのですが、解き方がよくわかりませんでした。

どこかの私立の問題らしいのですが、もしかしたら出題されるかもしれないと思い、質問させていただきました。

以下問題文
※多少、文章表現が理解しにくい部分もあるかと思いますが、ご了承下さい。

まず、どんな三角形でもいいので作図しなさい。
その頂角をAとし、左側をＢ、右側をAとする(三角形ＡＢＣとする)。
その三角形の内部に、どこでもいいので点０を決めなさい。
その点Oに、A,B,Cから線分を引きます。
そして、B・Cから伸ばした線分を三角形に触れるまで延長します。
線分OBを延長し、辺ACに触れた部分をＥ
線分OCを延長し、辺ABに触れた部分をDとする。

すると、
三角形ＡＤＯ＝２０平方ｃｍ
三角形ＡＥＯ＝１０平方ｃｍ
三角形ＯＢＣ＝３０平方ｃｍとなる。

この時、三角形ＡＢＣの面積を求めよ。

図を言葉で説明したので、若干不備があるかもしれないので、そのへんは組みとっていただけるとありがたいです。

宜しくお願いします。

※何かの定理を使う方法と、二次方程式と比で解く方法があるそうです。
　ちなみに答えは、１０５平方ｃｍになるそうです。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

＞その頂角をAとし、左側をＢ、右側をAとする(三角形ＡＢＣとする)。

「右側をＣとする」のタイプミスですね。

三角形ＡＢＣの面積を単に△ＡＢＣと書くことにします。

ＡＤ：ＢＤ＝△ＡＤＯ：△ＢＤＯ＝△ＡＤＣ：△ＢＤＣ＝△ＡＯＣ：△ＢＯＣ
ＡＥ：ＣＥ＝△ＡＥＯ：△ＣＥＯ＝△ＡＥＢ：△ＣＥＢ＝△ＡＯＢ：△ＣＯＢ
なので、
２０：△ＢＤＯ＝（１０＋△ＣＥＯ）：３０
１０：△ＣＥＯ＝（２０＋△ＢＤＯ）：３０
この連立方程式を解くと、
△ＢＤＯ＝４０
△ＣＥＯ＝５

△ＡＢＣ＝１０＋２０＋３０＋４０＋５＝１０５

お礼

タイプミスしてしまい、申し訳なかったです。

分かりやすい解答ありがとうございました。

回答No.2

Mr_Holland

もう一つの「何かの定理を使う方法」の定理は、　メネラウスの定理　の定理のことでしょう。
http://izumi-math.jp/sanae/MathTopic/meneraus/meneraus.htm

　これを利用してANo.1さんと同じ連立方程式が得られます。

　△OCE=x(cm^2), △OBD=y(cm^2)　としますと　メネラウスの定理から

　　CE/EA×AB/BD×DO/OC=1　⇒　x/10×(20+y)/y×y/30=1　∴　x(20+y)=300

　　BD/DA×AC/CE×EO/OB=1　⇒　y/20×(x+10)/x×x/30=1　∴　y(x+10)=600

お礼

そんな定理があったのですね。

解答ありがとうございます。

お二方ベストアンサーだったのですが、解答の早さでベストアンサーを決めさせていただきました。