三角形の面積比

質問

数学の問題なのですが、解き方が全くわかりません。
図が書けないので、説明しにくいですががんばってします。
三角形ABCがあります。ABは５センチでACは４センチです。頂点Aから∠Aを二等に分ける線（すみません、名前忘れてしまいました）が引いてありBCでの交点をDとします。ΔABD：ΔACDを求めよ。 という問題です。図を見た限り、絶対に二つの三角形は相似ではないと思いますが、確定ではありません。
僕が今一番知りたいことは、相似ではない二つの三角形の面積の比の求め方です。
誰か教えてください。よろしくお願いします。

回答No.5

gon2taro · ベストアンサー

もっと簡単な方法があります。

点Dから辺ABと辺ACへ垂線を引いてみましょう。
交点をそれぞれE,Fとします。
この時∠AEDと∠AFDが直角です。

さて、すると三角形ΔAEDとΔAFDは3つの角度が同じになりますよね？
しかも共通する辺ADは同じ長さです。
すると、二辺夾角という概念により、
それぞれの高さにあたる辺DEと辺DFの長さは同じになります。

つまり、ΔABDとΔACDは高さが同じで底辺が5:4の三角形となるわけです。

ということは。。。答えはもうお分かりですね。

お礼

うわああ。
本当にありがとうございます。凄く助かりました。
分かりやすくありがとうございます。
助かりました。
これで他の２問のやり方もわかると思います。
本当にありがとうございました。
ポイントはどうすると人に渡せるのですか？
お時間あったら、教えてください。

回答No.7

takeches

＞相似ではない二つの三角形の面積の比の求め方
これ自体に方法はありません。もし、何の関係もない二つの三角形ならば、それぞれ求めてあげるほかありません。
しかし、＃４さん等がおっしゃっているように、この２つの三角形は高さが等しいのです。
そして、BD:DC=5:4なのだから、
仮に高さをhとおいてやると、
△ABC:△ACD
=5×h×1/2:4×h×1/2
=5:4 となるわけです。

＃２さんの回答の説明もします。
先ず、θとは不特定の角度を表します。文字でいうxのようなものです。
また、三角形の形は二辺とその間の角がそれぞれ等しいという条件で特定できます。つまり、簡単に言えば、二辺とその間の角の大きさが分かれば面積が出せる公式があるわけです。
仮に、△ABCで、∠ABC=θとしましょう。すると、
△ABCの面積は、1/2×AB×BC×sinθで求めることが出来ます。これは何故かというと、AB×sinθが高さを表しているからです。
これに当てはめると、
△ABC:△ACD
=1/2×5×(x)×sinθ:1/2×4×(x)×sinθ
=5:4
となるわけです。

お礼

分かりやすくありがとうございます。
面積比が５：４ということですよね？
二乗して、２５：１６ではありませんよね？
お礼に質問書いて申し訳ありません。
ありがとうざいます。

回答No.6

debut

＜角の二等分線の性質＞
△ＡＢＣ で、∠Ａの二等分線とＢＣ の交点をＤとするとき
ＡＢ：ＡＣ＝ＢＤ：ＤＣ　が成り立ちます。

証明は、例えば、ＢＡをＡの方へ延長し、Ｃ を通ってＡＤに
平行な直線との交点をＥとすれば
∠ＢＡＤ＝∠Ｅ、∠Ｂ共通で　△ＢＡＤ∽△ＢＥＣ となります。
よって、ＢＡ：ＡＥ＝ＢＤ：ＤＣ・・・☆
ところで、△ＡＣ ＥはＡＣ ＝ＡＥの二等辺三角形なので
☆のＡＥをＡＣ に置き換えれば　ＢＡ：ＡＣ ＝ＢＤ：ＤＣ。

△ＡＢＤと△ＡＣ Ｄの底辺をそれぞれＢＤ，Ｃ Ｄとみれば
頂点Ａが共通するので２つの三角形の高さは等しい。
したがって、△ＡＢＤと△ＡＣ Ｄの面積比は、底辺の比
ＢＤ：ＤＣ に等しいといえます。

お礼

ありがうございます。
いろいろな解き方が分かりました。

回答No.4

Quattro99

垂線は2本引きます。
「点BからADの延長への垂線」と、「点CからADへの垂線」です。
「点BからADの延長への垂線」と「ADの延長」との交点を点Eとすると、△ABEは∠AEB=90°の直角三角形です。
「点CからADへの垂線」と「AD」との交点を点Fとすると、△ACFは∠AFC=90°の直角三角形です。
∠BAE=∠CAFですから（ADは∠Aの二等分線だから）、△ABEと△ACFは相似です。

「BからADに垂線を引く」という意味がわからなかったのでしょうか？

お礼

ちゃんとよ～くわかりました。
おかげで４つの問題が解けました。
ありがとうございました。

回答No.3

Quattro99

BとCから「∠Aの二等分線」つまり、AD（と、その延長）に垂線を引くんですよ？

お礼

本当に申し訳ないのですがまだ分かりません。
垂線をどの線からどの線まで引くのですか？
どの線からどの線と書いてくれてありますが、僕には少し分かりにくいです。すみません。

もっとよく説明しようとします。
Aが一番上の頂点、Bが左下、Cが右下です。そして∠Aの二等分線とBCの交点がDです。そしてABが５ｃｍ、ACが４ｃｍです。

回答No.2

take_5

∠ＢＡＣ＝2θとし、ＡＤ＝xとする。
∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ＝θであるから、△ＡＢＤ：△ＡＣＤ＝5x*sinθ：4x*sinθ＝5：4

お礼

すみません。
中２なのでSINとか、分かりません。塾で高校生の方がそのSINとかなんか使ってやっているのを見ましたが、多分それと同じでしょう。
アメリカではCALCULUSという高校数学科目だと思います。
すみません。
凄く興味深い回答です。意味が気になります。回答ありがとうございます。

回答No.1

Quattro99

BとCから∠Aを二等に分ける線（二等分線）に垂線を引いてみてください。2つの直角三角形が出来ると思います。この2つの直角三角形は相似ですから、垂線の長さの比がわかります。この垂線は問題で求めようとしている2つの三角形の高さ（ADを底辺と考える）であり、底辺は共通ですから面積比がわかります。

お礼

答えていただいてありがとうございます。
僕の説明力が低いせいだと思いますが、垂線を引いても、相似にならないのではないでしょうか？垂線にしたところで、二等分線にはならなくなるので、二角が等しくなくなりますよね？
間違っていたらすみません。
お答えしていただいて、ありがたいのですが、僕の説明力が低いので、間違っているとおもいます。少々無礼な言い方、変な日本語でしたらすみません。アメリカに６歳の時からいるので、どうかお許しください。
回答ありがとうございます。