関数の極限値について

質問

lim(x→1) a√(x)+b/x-1=2
この等式が成り立つように定数a,bの値を求めよ。

この問題の解説で、極限値が存在するには
lim(x→1) x-1=0ならば分子のlim(x→1) a√(x)+bも0でなければいけないとありました。
これの意味がわかりません。
なぜ極限値が存在するためには分母の極限値が0だと分子の極限も0でなければならないんですか？

回答No.2

tmppassenger · ベストアンサー

> なぜ極限値が存在するためには分母の極限値が0だと分子の極限も0でなければならないんですか？

式変形すれば出る。つまり
lim[x→1] { (b + a√x) / (x-1) } = 2が成立しているので、
lim[x→1] (b + a√x) = lim[x→1] { (b + a√x) / (x-1) } * lim[x→1] (x-1) = 2 * 0 = 0。

従って lim[x→1] (b + a√x) = 0は、式変形によってきちんと導出出来る。

お礼

わかりやすかったです。
ありがとうございます。

回答No.1

gamma1854

まず、重要な「関数の式」を正確に書いてください。
結果からみると、
(a*√x + b)/(x - 1)
であろうと思い、f(x) = (a*√x + b)/(x - 1) とします。
(要 分子、分母の及ぶ範囲の明示)
-----------------------
lim[x→1] f(x) = 2 (有限確定値)
となるには、(分母)→0 であることから、(分子)→0 であることが”必要”です。
● これが成り立たないならば lim f(x) は有限確定値になりえないからです。
この必要条件より、a + b = 0 を得て, b = -a より、
f(x) = a(√x - 1)/(x - 1) = a/(√x + 1), (∵ x≠1)
あとは簡単であると思います。