極限の問題（大学受験）

質問

lim{x→1-0}（1/x-1) = -∞
lim{x→π-0}（1/sinθ）= ＋∞

上は1を引いた後-0が残るから-∞はわかるのですが、なぜ下は＋∞になるのでしょうか。上と同じようにしてはいけないのでしょうか。…というより、正直この解き方がいまいちわかりません。どなたかご解説お願い致します。

回答No.3

noname#56760 · ベストアンサー

ｙ＝sinθ　
横軸θ、縦軸ｙとしてグラフを描いてみましょう。
θのあたいを増やしていくと、θ＝πを境にｙは正から負にかわります。
本問ではθ→π－0となっています。（xはミス入カですよね？）
これは、πより小さい方からπに近づけるという意味です。（θをπ－０.００００００・・・・００１にする考えても良い）
グラフに戻ります。グラフではθがπより小さいときｙは正です。
つまりπより左からπに近づけるける限りyは正です。
したがって＋０
1/+0となるから＋∞

お礼

ありがとうございます。大変よくわかりました。

回答No.2

yorodu0120

以下は正確な記述ではないと思いますが、あくまでイメージとして捕らえてください。

上は、xを1よりも小さい値から1に限りなく近づける（1を超えない）わけですから
(x-1)の値は必ず負になりますよね。だから計算結果も-∞です。

下の問題も同様に、θをπよりも小さい値からπ(=180度)へと近づけるわけです。
θは90度、120度、150度、…と近づいていき、最終的には180度＝πに限りなく近づきます。
さて、ここで最終的に考えるべきは、sinθの値です。
sinθは、θが90度のときに1になり、最終的に0へ近づいていきます。
このときのsinθの符号は常に正ですよね？
よって、sinθは+0となるので、問題の答えは＋∞となります

補足

ありがとうございます。大変よくわかりました。

回答No.1

info22

＞lim{x→π-0}（1/sinθ）= ＋∞
は変数が間違っていますね。
xかθのどちらですか？

単なる文字変数ですから文字自体はどちらでも良いですが、ちゃんぽんに使わないで下さい。
変数を仮にxにしておきます。
x=π-ε(εは正の非常に小さな実数)
とすると
sin(x)=sin(π-ε)=sin(ε）＞0です。
ならば
lim{x→π-ε}（1/sin(x)）=1/sin（ε）＞0です。
したがって
ε＞0をゼロに近づけても　sin(ε)→+0
したがって逆数の1/sin(ε)→＋∞
となりませんか？

お礼

ありがとうございます。大変よくわかりました。