●○関数の極限の問題。

質問

以下の問題がどうやってもうまくいきません。
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f(x,y)=(ax^p+by^p)^1/p (0,∞) 0<a,b<1 a+b=1 の時、以下を証明せよ。
(1)lim[p→0]f(x,y)=x^a*y^b
(2)lim[p→-∞]f(x,y)=min{x,y}
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g=(ax^p+by^p)^1/p として両辺をp乗し、
式を展開してgの極限をとってみたのですが一向に答えには辿り着きませんでした。
しかし式を展開していかなくては答えはでないと思うのです。
どなたか良い解決策をお持ちではありませんでしょうか。
宜しくお願い致します。

回答No.2

ringohatimitu · ベストアンサー

gとおいてlog gを右辺に持ってくる必要性が良く分かりませんがとりあえず(1)の概略を示しておきます。
logは連続でもしlogをとった後の極限が存在するならば元の極限はlogの極限のexpをとれば出るのはいいですよね？
なのでlog g=(log{a x^p + b y^p})/pにロピタルを適用することになります。p→0で右辺a+b=1より0/0であるから適用可能、極限は
lim_{p→0} {a x^p log x + b y^p log y}/{ax^p + by^p}=
log (x^a y^b)
です。

お礼

丁寧に解説を付けて下さいまして、ありがとうございました。
大変参考になりました。

回答No.1

ringohatimitu

前の質問のところで回答したのですが削除されてしまったようですね。
(1),(2)共にlogをとってロピタルを使えば簡単に出ると思うので試してみてください。

補足

度々申し訳ありません。
g=(ax^p+by^p)^1/p の式のlogをとると、
1=log(ax^p+by^p)/plogg になります。
その後、右辺をpに関してロピタルで落とすと、
logg*(apx^(p-1)+bpy^(p-1))/(ax^p+by^p) になります。
こういうことで良いのでしょうか。