偏導関数の問題です

質問

解き方が分からなかったので教えてください。
問題は、画像に添付してあります。

よろしくお願いします。

回答No.2

info22_

#1です。

A#1のf(x,y)の図に停留点(0,0),(-1,1)の位置関係、極小値（最小値）f(0,0)=0と
鞍点f(-1,1)=2/(e^2) (eはネピア数、自然対数の底)を描き込んだ図を添付します。

f(x,y)と極値の視覚的関係を把握するのに役立つかと思います。

回答No.1

info22_

f(x,y)=(x^2+y^2)e^(x-y)

(1)
fx(x,y)=2xe^(x-y)+(x^2+y^2)e^(x-y)=(x^2+2x+y^2)e^(x-y)
fy(x,y)=2ye^(x-y)-(x^2+y^2)e^(x-y)=-(x^2+y^2-2y)e^(x-y)
fxx(x,y)=(x^2+4x+y^2+2)e^(x-y)
fyy(x,y)=(x^2+y^2-4y+2)e^(x-y)
fxy(x,y)=fyx(x,y)=(2y-x^2-2x-y^2)e^(x-y)

(2)
停留点は、fx(x,y)=0,fy(x,y)=0より
　x^2+2x+y^2=0
　x^2+y^2-2y=0

∴停留点(x,y)=(0,0),(-1,1)
これが、停留点候補である。

(x,y)=(0,0)について
　fxx(0,0)=2>0
　D(0,0)=(fxy(0,0))^2-fxx(0,0)fyy(0,0)=-4<0
極値判定定理より
　(x,y)=(0,0)でf(x,y)は極小となり極小値f(0,0)=0をとる。

(x,y)=(-1,1)について
　fxx(-1,1)=0
　D(-1,1)=(fxy(-1,1))^2-fxx(-1,1)fyy(-1,1)=2>0
極値判定定理より
　(x,y)=(-1,1)では極値をとらない（鞍点）。

以上以外の停留点は存在しないから極大値は存在しない。

極値判定定理については参考URLをご覧あれ。

参考URL：

http://tau.doshisha.ac.jp/~kon/lectures/2009.calculus-II/html.dir/node55.html