偏導関数に関する問題

質問

次の命題の証明（または反例）がわからなくて困っています．

r,zの2変数関数p(r,z)およびΨ(r,z)について
(∂p/∂r)(∂Ψ/∂z)=(∂p/∂z)(∂Ψ/∂r)が恒等的に成り立つとき
pはΨのみの関数p=p(Ψ)で表すことができる．

この命題の逆は明らかに成り立つのですが，
この命題自体は必ずしも成り立たない気がします．
特段難しい問題でもないように思うのですがどうしてもわかりません．
何か条件が足りないのかもしれません．
どなたかわかる方がいらっしゃいましたらお教えください．

回答No.1

hugen

x=p(r,z)
Y=Ψ(r,z)
-----------------
x=p(r,z)　→　r=f(x,z)
Y=Ψ(f(x,z),z)
Yz=Ψr(f(y,z),z)*fz(y,z)+Ψz(f(y,z),z)=0
Y=h(x)

お礼

回答ありがとうございます．
6行目の等式が成り立つのは
∂f/∂z+(∂p/∂z)/(∂p/∂r)=0
となるからでしょうか．
陰関数の微分のようですがよく分からないので
もっと勉強したいと思います．