偏導関数の証明問題

質問

r=√(x^2+y^2+z^2)のとき、Δ(1/r)=0を証明せよ。
という問題で、証明方法がわかりません。
助けてください。

回答No.2

Knotopolog · ベストアンサー

＃１さんがご指摘された先の計算をお手伝いしましょう．

Δ=∂^2/∂x^2+∂^2/∂y^2+∂^2/∂z^2

ですから、

Δ(1/r)＝0

は，書き直すと，

(∂^2/∂x^2)(1/r)＋(∂^2/∂y^2)(1/r)＋(∂^2/∂z^2)(1/r)＝0

です．まず，(∂^2/∂x^2)(1/r) から計算します．

(∂^2/∂x^2)(1/r)＝(∂^2/∂x^2){1/√(x^2＋y^2＋z^2)}

＝(∂/∂x){(－1/2)*(2x)*(x^2＋y^2＋z^2)^(－3/2)}

＝(∂/∂x){(－x)*(x^2＋y^2＋z^2)^(－3/2)}

＝－(x^2＋y^2＋z^2)^(－3/2)＋(－x)*{(－3/2)*(2x)*(x^2＋y^2＋z^2)^(－5/2)}

＝－(x^2＋y^2＋z^2)^(－3/2)＋3x^2*(x^2＋y^2＋z^2)^(－5/2)

です．(∂^2/∂y^2)(1/r) は，上式の ＋3x^2* の部分の x を y に書き換えればよいから，

(∂^2/∂y^2)(1/r)＝(∂^2/∂y^2){1/√(x^2＋y^2＋z^2)}

＝－(x^2＋y^2＋z^2)^(－3/2)＋3y^2*(x^2＋y^2＋z^2)^(－5/2)

です．(∂^2/∂z^2)(1/r) は，上式の ＋3y^2* の部分の y を z に書き換えればよいから，

(∂^2/∂z^2)(1/r)＝(∂^2/∂z^2){1/√(x^2＋y^2＋z^2)}

＝－(x^2＋y^2＋z^2)^(－3/2)＋3z^2*(x^2＋y^2＋z^2)^(－5/2)

となります．したがって，Δ(1/r)は，これらを加えて計算すると，

Δ(1/r)＝
－(x^2＋y^2＋z^2)^(－3/2)＋3x^2*(x^2＋y^2＋z^2)^(－5/2)
－(x^2＋y^2＋z^2)^(－3/2)＋3y^2*(x^2＋y^2＋z^2)^(－5/2)
－(x^2＋y^2＋z^2)^(－3/2)＋3z^2*(x^2＋y^2＋z^2)^(－5/2)

Δ(1/r)＝－3*(x^2＋y^2＋z^2)^(－3/2)
　　　　＋3*(x^2＋y^2＋z^2)*(x^2＋y^2＋z^2)^(－5/2)

Δ(1/r)＝－3*(x^2＋y^2＋z^2)^(－3/2)＋3*(x^2＋y^2＋z^2)^[(－5/2)＋1]

Δ(1/r)＝－3*(x^2＋y^2＋z^2)^(－3/2)＋3*(x^2＋y^2＋z^2)^(－3/2) ＝ 0

となります．証明終わり．

お礼

すごく助かりました。
わかりやすく説明していただき、ありがとうございます。

回答No.1

rnakamra

単に計算するだけ。
Δ=∂^2/∂x^2+∂^2/∂y^2+∂^2/∂z^2
であるから、
(∂^2/∂x^2)(1/r)=(∂^2/∂x^2){1/√(x^2+y~2+z^2)}
を計算、y,z,については全く同様に計算できる。
後は計算結果を足し合わせゼロになることを示す。

補足

(∂^2/∂x^2)(1/r)=(∂^2/∂x^2){1/√(x^2+y~2+z^2)}
={3x^2-(x^2+y^2+z^2)^2/(x^2+y^2+z^2)^5になりましたがあってるのでしょうか？