三角関数の極限の問題の解き方を教えてください

質問

三角関数の極限を求める問題で、添付画像中の4つの問題の解き方が分かりません。
　答えのみは参考書に記載されていたので書きます。

　　(1)-3/2 　(2)1/2 (3)-1/2 (4)0

どなたかお分かりになられましたら教えてください。よろしくお願いします。

回答No.6

info22_

残りの(2)

lim(x→0)(tan(x)-sin(x))/x^3
=lim(x→0)(sin(x)/x)((1/cos(x)-1)/x^2)
=lim(x→0)(sin(x)/x)*lim(x→0)(1/cos(x)-1)/x^2
=1*lim(x→0)(1/cos(x)-1)/x^2
=lim(x→0)(1-cos(x))/x^2*(1/cos(x))
=lim(x→0)(1-cos(x))/x^2　←0/0型なのでロピタル適用
=lim(x→0)sin(x)/(2x)
=(1/2)lim(x→0)sin(x)/x
=1/2

これで全部わかりましたか？

お礼

これですべての問題が解けました。
　皆様、どうもありがとうございました。

回答No.5

hashioogi

(3)は(x-π/2)=yと変数変換しましょう。
そうすると、
lim y→0 (cos (y+π/2))/2y
になりますから、展開して簡単にしてからロピタルの定理でできると思います。

お礼

返信遅れて済ませんでした。
　解けました。y→0にするように解くとは思いつきませんでした。
　どうもありがとうございました。

　あと、(2)を残すのみですが、どなたか、解き方分かる人いらっしゃいますか？解き方を教えてください。よろしくお願いします。

回答No.4

jijiqwertyuio

基本的に　lim x→0　sinx/x=1の公式で三角関数の極限は求められます
・この形に式を変形させていく
・lim x→πなどの時はx-π=tのように置換して式を変形させる
（４）はlimx→∞なので普通にはできないのではさみうちの定理を使います
-1≦sinx≦1より-1/x≦sinx/x≦1/x
limx→∞（-1/x)=0 limx→∞ 1/x=0
はさみうちの定理にり０です

お礼

返信遅れてすみませんでした。
　解けました。はさみうちの定理を使うのですね。思いつきませんでした。
　ありがとうございました。

回答No.3

hashioogi

(3)はロピタルの定理を使用すれば良いのでは？

回答No.2

hashioogi

大学生でしょうか？

(1)は2倍角の公式と3倍角の公式を使用して展開すれば求められそうです。

回答No.1

bon_be

(1)だけ・・・。
あとは、他の方にお任せ

sin3x＝3sinx-4(sinｘ)^2
sin2x＝2sinxcosx

だから　　sin3x/sin2x
　　　　　＝(3sinx-4(sinｘ)^2/2sinxcosx
　　　　　＝3-4sinｘ/2cosx

lim(ｘ→π）(3-4sinｘ/2cosx)

＝(3-0)/(2*(-1))
＝-3/2

お礼

返信遅れてすみませんでした。
　(1)の解き方が分かりました。倍角、三倍角を使うとは思いつきませんでした。
　ありがとうございました。