２次関数でaを重視するのは何故でしょうか？

質問

次の関数、f(x),g(x)の最大値、最小値を求めよ。

Ａ）a>0とする。　f(x)=2x-x^(2) (0≦x≦a)

aがxの範囲にまで食い込んできています。
一体どうなっているのか、解答を何度読んでもわかりません。
分かりやすく教えてもらえないでしょうか？

Ｂ）g(x)=x^(2)-2x+2 (a≦x≦a+2）

ｘの範囲がついにすべてaがつくようになってしまい、解答を読んでも訳がわかりません。
解きほぐして教えてもらえないでしょうか？

おねがいします！

回答No.2

coffeedog · ベストアンサー

まずはそれぞれの式をグラフ化できるような形にしてみましょう。

まずはＡの問題から
f(x)=2x-x^(2)
　＝-x^(2)+2x
　＝-{（x-1）＾（2）-1}
　＝-（ｘ－１）^(2)+1

この式からf(x)のグラフを書くとしてf(x)=ｙとしｘ軸、ｙ軸のグラフを書くと
山がたのグラフで、頂点の座標が（ｘ、ｙ）＝（1,1）であることがわかります。
また、はじめの式、2x-x^(2)のとき、すべての項にｘが含まれていますので、ｘ＝０のとき
f(x)つまりｙも0になってしまいます。（ｘ、ｙ）＝（0,0）をグラフが通っているということですね。

実際に書いてみてください。わかりやすいと思います。

さて最大値、最小値ですが
ａは０より大きいことが条件ですので、ｙ軸より左の部分は無視してしまいましょう。
この問題Ａは、0からａまでの範囲でグラフの最大と最小がいくつですかときいているわけです。
ところが、この０～ａの範囲はかわってしまいます。そこで
ａがここからここまでの場合は、最大が●●で最小が▲▲であると、分けてこたえる必要があるのです。

ａ＜1のとき、（0＜ｘ＜1）の範囲で最大、最小を答えれば良い
　　　　ブラフは右上がりになっているはずなので、
　　　　　　最小値は常に座標（ｘ、ｙ）＝（0,0）　つまりf(x)＝0　（ｘ＝0）のときの値ですね。
　　　　　　最大値はグラフの右はし、つまり（Ｘ＝ａ）のときのｙ座標の値です。ｘにそのままａをあてはめれば良いので
　　　　　　最大値はf(ａ)　＝　2ａ-ａ^(2)　ですね。

1≦ａのとき、最大最小をグラフから読み取る範囲が広がります。
右上がりだったグラフがさらに伸び右下に向かって下がり始めました。
これにより、最大値はグラフの山の頂点以外にあり得なくなりました。（ｘ＝１）のときの値、f(x)＝１が最大値です。→(1)

最小値はグラフを読み取る範囲が広がり、右はしのｙの値が左はしより小さくなるまでは右はしが最小値です。

f(x)=2x-x^(2)
　　＝ｘ（2-ｘ）

よりａ＝2のとき　読み取るグラフが左右対称となり最小値がグラフの両はし、つまり（ｘ＝０）（ｘ＝２）のとき最小値0になります。
ですから回答では

1≦ａ＜２のとき　最大値は　（ｘ＝1）の値　1　
　　　　　　　　　　最小値は　（ｘ＝0）の値　0　　　→(2)

ａ＝２のとき　　　最大値は　（ｘ＝1）の値　1
　　　　　　　　　　最小値は　（ｘ＝0）と（ｘ＝２）の値　0　　→(3)

となります。この(2)と(3)は最大値最小値の値は同じなので
1≦ａ≦2のとき　最大値1　最小値0　　　　とまとめられます。ａ＝2のときグラフに最小値0が2か所現れるというだけですね。

2＜ａ　のとき、つまり読み取るグラフのｘ軸範囲がさらに広がるとグラフの右はしが最小値になります。最大値はかわらず（ｘ＝１）の値　1が最大値です。
最小値はグラフの右はし、つまり（ｘ＝ａ）のところです。値はｘにａをあてはめるだけなので　2ａ-ａ^(2)　となります。　→(4)

0＜ａ≦1のときの最大値と同じ式になっているので変だなと思うかもしれませんが、ａの範囲によって別物になっているのでＯＫです。

(1)～(4)をあわせて
0＜ａ＜1　　　のとき　　最大値　2ａ-ａ^(2)　最小値0
1≦ａ≦2　　のとき　　最大値1　　　最小値0
2＜ａ　　　　　のとき　　最大値1　　最小値2ａ-ａ^(2)　　　　
が、回答になるわけですが、いかがでしょう？

Ｂの問題ですが、要領は同じです。まずは式をグラフをかけるようにしてみましょう。

g(x)=x^(2)-2x+2
　　＝（ｘ－1）＾（2）-1+2
　　＝（ｘ－1）＾（2）+1

　グラフを書いてみてください。
　今度はＡの問題とは逆の谷がたのグラフになりますよね。
　谷のそこの部分（逆放物線の頂点）の座標は（1,1）になると思います。

　さて、グラフから読み取る範囲は (a≦x≦a+2）とはっきりしません。
　Ａの門題では0より大きい範囲であることは始めから決まっていたのに！

　でも、今回は読みとる、幅がきまっているんですよ。
　どういうことかというと、
　先ほどのＡの問題が、グラフを読み取る部分が、広くなっていったのに対して、
　このＢの問題は、幅が2ときまっているんです。
　たとえば　ａ＝0なら　　　グラフを読み取る範囲は　0≦ｘ≦2
　　　　　　　ａ＝1000なら　グラフを読み取る範囲は　1000≦ｘ≦1002
　　　　　　　ａ＝-900　　　グラフを読み取る範囲は　　-900≦ｘ-898
　とういう様に。

　書いたグラフの両端を手で隠してみてください。両手の隙間の幅は2です。
　その隙間をキープしたまま左右に（ｘ軸方向に）両手をウ動かしてみてください。
　両手の隙間から見える部分のグラフから最大値と最小値を読み取って下さいという問題なんですね。

　ａが小さい値の場合から考えていきましょう。
　放物線の頂点が（1,1）なので
　読み取るグラフの範囲が（-1≦ｘ≦1）になってしまうと最小値が1になってしまいます。
　よってａ＜-1　のとき　読み取るグラフは右下さがりの線になります。
　　最大値はグラフの左はじ　ｘ＝ａ　　　　のときの値　　ｇの式のｘにａを代入します。
　　　g(ａ)=ａ^(2)-2ａ+2
　　最小値はグラフの右はじ　ｘ＝（ａ+2）　のときの値　　ｇの式のｘに（a+2)を代入します。
　　　g(a+2)=（a+2）^(2)-2（a+2）+2
　　　　　　＝ａ＾（2）+2a+2　　　　　　　→(1)

　-1≦ａのとき最大値の値にaが含まれますが最小値はｘ＝1のときの値である1となります。
　先ほどのようにグラフの両はしを手で隠して左右に動かしてみると分かりますが、
　最小値が1と決まっている場合でも、最大値はグラフの左はしだったり、右はしだったりしてしまいます。
　両はしが最大値である場合から考えましょう。

　ｇ（0）＝2ですから、グラフとｙ軸は（0,2）の座標で交わっています。

　ａ＝0のとき読み取るグラフの範囲は(0≦x≦2）となり最小値は1　最大値がグラフの両はしとなります。
　値は（ｘ＝0）（ｘ＝2）どちらを代入しても同じですが、どちらも2となります。　　→(2)

　(1)はａ＜-1のとき　　(2)はａ＝０のとき　という条件でしたのでその間を埋めていきます。

　-1≦ａ＜0のとき　最大値はグラフの左はし（ｘ＝ａ）のとき　値は　g(ａ)=ａ^(2)-2ａ+2　となり
　　　　　　　　　　　　最小値はｘ＝1のときの値である1となります。　　　→(3)

　０＜ａ≦1のとき　最大値はグラフの右はしｘ＝（ａ+2）　のときの値　g(a+2)=ａ＾（2）+2a+2　
　　　　　　　　　　　　最小値はｘ＝1のときの値である1となります。　　　→(4)

　１＜ａのとき　読み取るグラフの形は右上あがりの線になっていますね。
　　　　　　　　　最大値はグラフの右はしｘ＝（ａ+2）　のときの値　g(a+2)=ａ＾（2）+2a+2　
　　　　　　　　　最小値はグラフの左はしｘ＝ａ　　　　のときの値　g(ａ)=ａ^(2)-2ａ+2　→(5)

　(1)～(5)をすべて記入すればそれが回答となります。

ａ＜-1　のとき　最大値は　ｘ＝ａ　　　のときの値　　g(ａ)=ａ^(2)-2ａ+2
　　　　　　　　　最小値は　ｘ＝（ａ+2）　のときの値　　g(a+2ａ＾（2）+2a+2

-1≦ａ＜0のとき　最大値はｘ＝ａのときの値　　g(ａ)=ａ^(2)-2ａ+2　
　　　　　　　　　　　最小値はｘ＝1のときの値　　　1

ａ＝0　のとき　　最大値は　ｘ＝0　ｘ＝2　のときの値　2
　　　　　　　　　　最小値は　ｘ＝1のときの値　　　1

0＜ａ≦1のとき　　最大値はｘ＝（ａ+2）　のときの値　g(a+2)=ａ＾（2）+2a+2　
　　　　　　　　　　　　最小値はｘ＝1のときの値　　1　

１＜ａのとき　最大値は　ｘ＝（ａ+2）　のときの値　g(a+2)=ａ＾（2）+2a+2　
　　　　　　　　　最小値は　ｘ＝ａ　　　　のときの値　g(ａ)=ａ^(2)-2ａ+2　　

以上です。
いかがでしょうか？

お礼

すごく分かりやすかったです！
長い文章で説明してくださって本当にありがとうございました！

回答No.1

ferien

＞次の関数、f(x),g(x)の最大値、最小値を求めよ。
＞Ａ）a>0とする。　f(x)=2x-x^(2) (0≦x≦a)
ｆ（ｘ）＝－ｘ^2＋２ｘ
＝－（ｘ^2－２ｘ＋１）＋１
＝－（ｘ－１）^2＋１
軸はｘ＝１　グラフを描いてみると、
０≦ｘ＜１では、ｆ（１）＝１は最大値でない。
ｆ（０）＝ｆ（２）＝０なので、０≦ｘ≦２では最小値０，
２＜ｘで、最小値は０より小さい。
だから、
ａの範囲は、軸１より左，１以上２以下の間，２より右で分ければいいと思います。
（グラフを描いて、ｘ＝ａ（ｘ軸に垂直な直線）を引いて考えればいいです。）
０＜ａ＜１のとき、最小値ｆ（０）＝０，最大値ｆ（ａ）＝２ａ－ａ^2
１≦ａ≦２のとき、最小値０，最大値ｆ（１）＝１
２＜ａのとき、最小値ｆ（ａ）＝２ａ－ａ^2，最大値ｆ（１）＝１

＞Ｂ）g(x)=x^(2)-2x+2 (a≦x≦a+2）
ｇ（ｘ）＝ｘ^2－２ｘ＋２
＝（ｘ^2－２ｘ＋１）－１＋２
＝（ｘ－１）^2＋１
軸はｘ＝１，
ａ≦ｘ≦ａ＋２で、区間の幅は２なので、軸ｘ＝１の前後２の範囲（－１≦ｘ≦３）では、
最小値ｇ（１）＝１をとる
－１≦区間の左端　または、区間の右端≦３のとき　だから、
－１≦ａ，　ａ＋２≦３のとき、ａ≦１　
よって、－１≦ａ≦１　のとき、最小値ｇ（１）＝１
区間の左端＜－１のとき、
よって、ａ＜－１のとき、最小値ｇ（ａ＋２）＝ａ^2＋２ａ＋２
区間の右端＞３のとき、ａ＋２＞３より、
よって、ａ＞１のとき、最小値ｇ（ａ）＝ａ^2－２ａ＋２

最大値は、ｇ（ａ）かｇ（ａ＋２）のどちらか。
ｇ（ａ）＝ｇ（ａ＋２）になるａの値は、ａ^2－２ａ＋２ーａ^2＋２ａ＋２より、ａ＝０
よって、
ａ＜０のとき、ｇ（ａ）＞ｇ（ａ＋２）だから、最大値ｇ（ａ）
ａ≧０のとき、ｇ（ａ）≦ｇ（ａ＋２）だから、最大値ｇ（ａ＋２）

以上まとめると、
ａ＜－１のとき、最小値ｇ（ａ＋２）＝ａ^2＋２ａ＋２，最大値ｇ（ａ）＝ａ^2－２ａ＋２
－１≦ａ＜０のとき、最小値ｇ（１）＝１，最大値ｇ（ａ）
０≦ａ≦１のとき、最小値ｇ（１）＝１，最大値ｇ（ａ＋２）
１＜ａのとき、最小値ｇ（ａ），最大値ｇ（ａ＋２）

グラフを描いて、幅２の区間を左右に動かして考えて下さい。

お礼

ありがとうございました！
グラフを書くと一気に分かりやすくなりますね！