導関数、今日中にお願いします!

質問

a,bは定数で、a>0とする。関数f（x）＝x ^3 － 3a^2x＋bの区間0≦x≦2における最小 値 、最大値をそれぞれm,Mとするとき、次 の 問い に答えよ。

（1）aの値で場合わけして、m とMをa,bを 用いて表せ。

（2）m＝0かつM＝4となるようなa.bの値 を 全て求めよ。

教科書を見ても(1)からわかりません…困ってます。 明日テストに出るので早めに最後まで理解した いです。(２)までの解説をどなたかお願いします!

回答No.1

sunflower-san

(1)

まず f(x) の極値を調べます。
f'(x) = 3 x^2 -3 a^2 = 3(x + a)(x - a) = 0
なので、f(x) は±aに於いて極大または極小となります。いまf(x) の最高次の係数(x^3 の係数)が正なので、
f(-∞) = -∞, f(+∞) = +∞ ですから、考えられるグラフの形から-a に於いて極大、+aに於いて極小をとる、ということが分かります。
特に区間 0≦x≦a では、f(x)は単調に減少するので、

(mi) 区間0≦x≦2内にaがある場合(つまりa≦2の場合)、aに於いて最小値 m = f(a) = a^3 - 3a^3 + b = -2a^3 + bをとる。
(mii) 区間0≦x≦2内にaがない場合(つまり2＜aの場合)、2に於いて最小値 m = f(2) = 8 - 6a^2 + bをとる。

またグラフの形から、最大値は f(0) または f(2) のうち大きい方ですから、
f(0) = b と f(2) = 8 - 6a^2 + b を比較すれば
a^2 ＜ 8/6 = 4/3 のときは f(2)＞f(0)
a^2 ≧ 4/3 のときは f(0)≧f(2)
となることが分かります。よって最大値についてはこの2つの場合に分類できて、

(Mi) a ＜2/√3 の場合、2 に於いて最大値 M = f(2) = 8 - 6a^2 + bをとる。
(Mii) a ≧2/√3 の場合、0 に於いて最大値 M = f(0) = bをとる。

ということが分かります。

(2)
上の場合分けから、m = 0 かつ M = 4 となるためには、

０＜a ＜2/√3 の場合。((mi)かつ(Mi)の場合)
m = -2a^3 + b = 0 かつ M = 8 - 6a^2 + b = 4
が a, b の満たすべき条件となります。
すなわち、b = 2a^3 かつ 4 - 6a^2 + b = 0
b を消去すれば、a^3 -3a^2 +2 = (a -1)(a^2 -2a -2) = 0
つまり、a = 1, 1±√3
これらのうち、0＜a ＜2/√3 を満たすのは a = 1 のみ。このとき、b = 2 で、確かに m = 0, M = 4 となります。

2/√3 ≦ a ≦2 の場合。((mi)かつ(Mii)の場合)
m = -2a^3 + b = 0 かつ M = b = 4
このとき、a^3 = 2 だから、a = 2^(1/3) = 1.2599.. これは2/√3 ≦ a ≦2を満たす解です。
(2/√3 ≦ 2^(1/3) であることは両辺を6乗してみれば容易に確認できます)
a = 2^(1/3), b = 4 のとき、確かに m = 0, M = 4 となります。

2＜aの場合。((mii)かつ(Mii)の場合)
m = 8 - 6a^2 + b = 0 かつ M = b = 4
このとき、a^2 = 2 より、a = ±√2 であり、2＜a を満たす解はありません。

よって、(a, b) = (1, 2), (2^(1/3), 4) が m = 0 かつ M = 4 となる全ての (a, b) の値となります。