「ある」とは「すべて」も含むのか？？

質問

「ある」とは「すべて」も含むのか？？

２次不等式/「すべて」と「ある」絡み

-2<=x<=2の範囲で、関数f(x)=x^2+2x-2,g(x)=-x^2+2x+a+1について、次の命題が成り立つようなaの範囲をそれぞれ求めよ。
(1)あるｘに対して、f(x)<g(x)
(2)あるx1,x2に対して,f(x1)<f(x2)

(1)-2<=x<=2におけるF(x)の最小値が負であることと同値であるから、F(0)=-(a+3)<0 よってa>-3
(2)-2<=x<=2におけるf(x)の最小値をm1,g(x)の最大値をM2とすると、m1<M2と同値である。
(1)により、m1=f(-1)=-3,M2=g(1)=a+2
よって,m1<M2←→-3<a+2 よってa>-5

教えてほしいところ
あるという意味合いが微妙に、理解できません。自分はあるとはすべてではないだけどうまいものを選ぶとという意味だと解釈しました。
しかし、解答にあるような解き方であると、すべてのxに対して、すべてのx1,x2の組に対し成り立つというのも含まれてしまいますよね？（根拠、（１）があるではなくすべてのｘに対しての場合はa>5であり,a>-3はこの範囲を含んでいるから。（２）も同様に、a>13となり、a>-5がこの範囲を含んでいるから。）
ですので、自分の解釈が間違いなのか不安になってきました。
あるの意味合いを教えて下さい

回答No.4

R_Earl · ベストアンサー

ANo.1です。

> 結局、どういうこと何でしょうか？？
> できれば、結論をまとめてください。

質問者さんが考えている「ある」の意味が微妙に間違っています。

質問文では
「あるとはすべてではないだけどうまいものを選ぶとという意味」
と書いてありますが、これは半分正解で半分間違いです。

全てではないけれどうまいものを選んで成り立つならOK。
全てで成り立っててもOKなんです。

回答No.3

adasnt

あるというのは，１個でも，２個でも全部でも良いのです．

回答No.2

adasnt

誤記が多いですね．

この解答でまったく問題ないですよ．質問者さまの【ある】の理解も問題ないです．

以下，間違ってます．
（根拠、（１）があるではなくすべてのｘに対しての場合はa>5であり,a>-3はこの範囲を含んでいるから。（２）も同様に、a>13となり、a>-5がこの範囲を含んでいるから。）

a>5とa>-3のどちらが広いですか? すべてのxに成り立つ条件と，あるxに成り立つ条件はどちらが厳しいですか? 普通すべてのxの場合のほうが厳しい(狭い）でしょ．

補足

狭いから、すべてはあるに含まれているのでは？？？
つまり、あるはすべてを含む。

回答No.1

R_Earl

「あるxに対して～～が成り立つ」という文章の意味は
「～～が成り立つxが1つ以上存在する」という意味です。
1つ以上なので複数存在してもOKです。
xが取りうる値全てに対して成り立っていてもOKです。

例えば「x^2 + 5x + 6 = 0」を考えてみます(xは実数とします)。
これはx = -2, -3の時に成り立つので、
「あるxに対してx^2 + 5x + 6 = 0が成り立つ」となります
(x^2 + 5x + 6 = 0が成り立つxの値は2つ存在する)。
でも「全てのxに対してx^2 + 5x + 6 = 0が成り立つ」とは言えません。

次に「x^2 ≧ 0」を考えます(こちらもやはりxは実数とします)。
これはどんなxの値でも成り立ちます。
なので「あるxに対してx^2 ≧ 0が成り立つ」と言えますし
(x^2 ≧ 0が成り立つxの値が1つ以上あるので)、
「全てのxに対してx^2 ≧ 0が成り立つ」とも言えます。

補足

結局、どういうこと何でしょうか？？
できれば、結論をまとめてください。