関数

質問

(1)0≦x≦2で定義された関数 f(x)=x^2-2ax+4 について
　 (ア)f(x)の最小値をaを用いて表せ。また、f(x)の最小値が３のとき、aの値を求めよ。
　 (イ)f(x)の最大値をaを用いて表せ。また、f(x)の最大値が16のとき、aの値を求めよ。

(2)関数 f(x)=x^2-2x-3 の a-1≦x≦a+1 における最小値を求めよ。

解答
(1) (ア)a＜0のとき、４
　　　　0≦a≦2のとき、-a^2+4
　　　　2＜aのとき、-4a+8 ; aの値は a=-2
(イ)a＜1のとき、-4a+8
1≦aのとき、４ ; aの値は a=-2

(2)a＜0のとき、a^2-4
0≦a≦2のとき、-4
2＜aのとき、a^2-4a

軸と定義域での場合わけができません！
解説よろしくお願いします。

回答No.2

ferien · ベストアンサー

＞(1)0≦x≦2で定義された関数 f(x)=x^2-2ax+4 について
ｆ（ｘ）＝ｘ^2－２ａｘ＋４
　　　　＝（ｘ－ａ）^2－ａ^2＋４　……（１）
軸は、ｘ＝ａ
ｘの範囲0≦x≦2　……（２）は決まっているので、グラフ（１）を左右に動かしてみればいいです。

＞(ア)f(x)の最小値をaを用いて表せ。また、f(x)の最小値が３のとき、aの値を求めよ。
軸ｘ＝ａが（２）の範囲０≦ａ≦２にあるときは、最小値－ａ^2＋４
（１）を左にずらしたとき、（軸ｘ＝ａを（２）の範囲より左へずらしたとき）ａ＜０
このとき、最小値ｆ（０）＝４
（１）を右にずらしたとき、（軸ｘ＝ａを（２）の範囲より右へずらしたとき）２＜ａ
このとき、最小値ｆ（２）＝－４ａ＋８
よって、最小値は、
ａ＜０のとき、ｆ（０）＝４
０≦ａ≦２のとき、－ａ^2＋４
２＜ａのとき、ｆ（２）＝－４ａ＋８
最小値３が考えられるのは、－ａ^2＋４＝３または－４ａ＋８＝３のとき、
－ａ^2＋４＝３のとき、ａ^2＝１，０≦ａ≦２を満たすのは、ａ＝１
－４ａ＋８＝３のとき、４ａ＝５より、ａ＝５／４　２＜ａを満たさないから、不適
よって、最小値３になるａの値は、ａ＝１

＞(イ)f(x)の最大値をaを用いて表せ。また、f(x)の最大値が16のとき、aの値を求めよ。
最大値は、ｆ（０）かｆ（２）のどちらかになるから、
ｆ（０）＝ｆ（２）とおいて、値が一致するときのａの値を求めると、－４ａ＋８＝４より、ａ＝１
よって、
ａ＜１のとき、最大値ｆ（２）＝－４ａ＋８
１≦ａのとき、最大値ｆ（０）＝４
最大値が１６になるのは、－４ａ＋８＝１６より、ａ＝－２（これはａ＜１を満たす）
よって、最大値が１６にａの値は、ａ＝－２

＞(2)関数 f(x)=x^2-2x-3 の a-1≦x≦a+1 における最小値を求めよ。
f(x)=x^2-2x-3
＝（ｘ－１）^2－４　……（１）　軸は、ｘ＝１
a-1≦x≦a+1　……（２）の区間の幅は２
グラフ（１）は決まっているので、幅２の区間（２）を左右に動かしてみればいいです。

軸ｘ＝１の前後幅２の範囲では、最小値は－４になります。
だから、－２＋１≦区間の左端＜区間の右端≦２＋１　になります。
－１≦ａ－１，ａ＋１≦３　より、０≦ａ≦２のとき、最小値－４
区間の左端＜－１のとき、ａ－１＜－１より、ａ＜０
このとき、最小値ｆ（ａ＋１）＝ａ^2－４
区間の右端＞３のとき、ａ＋１＞３より、ａ＞２
このとき、最小値はｆ（ａ－１）＝ａ^2－４ａ
よって、
ａ＜１のとき、最小値ｆ（ａ＋１）＝ａ^2－４
０≦ａ≦２のとき、最小値－４
２＜ａのとき、最小値ｆ（ａ－１）＝ａ^2－４ａ

になりました。グラフを描いて考えてみて下さい。、

お礼

分かりやすい説明をありがとうございました！

回答No.3

mister_moonlight

2次関数の軸により場合わけする問題のパターンは　上の2つしかないから良く憶えて置くように。
軸が動く場合と、変域が動く場合、の2つ。

＞(2)関数 f(x)=x^2-2x-3 の a-1≦x≦a+1 における最小値を求めよ。

f(x)=x^2-2x-3＝(x-1)＾2-4　これのグラフを先ず書く。
xに変域がなければ　x＝1で最小値は　-4　なんだが、そこで変域を動かす。
変域の幅が2なんてのは　何の関係もない。軸がx＝1であるから　それを境界として　最小値も変わる。
(1)　a-1≧1の時　最小値＝f(a-1)=a^2-4a
(2)　a＋1≦1の時　最小値＝f(a＋1)=a^2-4
(3)　a-1≦1≦a＋1の時　最小値＝f(1)=-4

(注)
この問題で、同じ条件で　最大値を求めてみると面白い。最小値よりは　難しくなる。

お礼

教えていただいた方法でやってみました！
私でも解くことができました！
ありがとうございました。

回答No.1

picknic

f(x)=x^2-2ax+4
=(x-a)^2-a^2+4
ですよね。

ってことは、この関数のグラフはy=x^2をあっちこっちに平行移動したグラフってことです。

y=x^2は下に凸な2次関数ですよね。
ってことは、この凸の頂点が与えられた範囲に入っているかどうかによって最小値が変わってきますよね。

0<=x<=2の間にaがあれば、x=aで最小値をとるし、
その範囲になければx=0かx=2の時に最小値を取る。

グラフの平行移動という考え方で見てみてください。

お礼

わかりました。
自分でもう一度やってみようと思います！