常微分方程式についてです

質問

ω(t)はtに関する関数です。
τ>0,Cは定数とします。

このとき以下の微分方程式の解法をよろしくお願い致します。
(2τ^2)(∂ω/∂t)ω ＋ (1/2)tω = C

自分はまず簡単のためC=0として計算してみましたが、
それでも解を求めることができませんでした。
どなたか解法をよろしくお願い致します。

回答No.3

Knotopolog

常微分方程式は，変数が１つの微分方程式です．
この質問は， t のみが変数です．その常微分方程式を，

(2τ^2)(∂ω/∂t)ω ＋ (1/2)tω ＝ C

と書くのは間違いです．正しい書き方は，

(2τ^2)(dω/dt)ω ＋ (1/2)tω ＝ C

です．∂ω/∂t は，偏微分方程式のときに用いる記号です．

さて，τが変数と言う事は，τが，t の関数になっており，τ は τ(t)のことを意味します．

C＝0 の場合は，変数分離形で解けます．C＝0 の時は，与式が，

(2τ^2)(dω/dt) ＋ (1/2)t ＝ 0

となり，変形して，

dω/dt ＝ －t/(4τ^2)

となります．これを積分すれば，

ω ＝ －(1/4)∫t/τ^2 dt ＋ A

と求まり，これが C＝0 の時の一般解です． A は積分定数です．

C≠0 の時は，非線形常微分方程式ですから，τ(t)が具体的に決まらなければ解けません．

以上です．

回答No.2

Tacosan

「τ は変数」というだけでは解けません. τ と t の関係は?

回答No.1

Knotopolog

この質問では，τ　が何か分かりません．τは，定数ですか？

お礼

補足を訂正します。
τ＞0は変数です。

補足

定数です。
申し訳ありません。