微分方程式の解の求め方

質問

dy/dx + A ｙ^(1/2) =C 但しA,C は定数　ｙ^(1/2)はルートyです

この微分方程式の解を教えてください。Ｃ＝０の場合の解は本に載っておりますが、これがある値をとる場合はどのように計算式を導いていけばよいか御教示お願い致します。

回答No.2

Ae610 · ベストアンサー

dy/dx + A√y = C　(A,C は定数)

y－C/A＋(C/A)・log((√y)－C/A) = －(A/2)・x＋Ｃ0　(Ｃ0:積分常数)

お礼

早速の回答有難う御座いました。y=f(x)を求めようとしましたが、x=f(y)で逆計算すればいいこと分かりました。パソコンで数値計算します。
本式は水槽に水を供給しながら一方ある量ドレンしていく時の液面変化を求めようとしております。
有難う御座いました

回答No.1

Knotopolog

dy/dx ＋ A√y ＝ C， C≠0 は変数分離形に変形可能なので，微分方程式そのものは，求積法で解けます．一般解は，Ｍを積分定数とすると，

x ＝ Ｍ ＋ ∫dy/(C － A√y)

と書けます．

一般解が求まれば，「微分方程式を解く」という要求された作業は終わりです．後は，不定積分 ∫dy/(C － A√y) を計算する作業のみとなります．

「微分方程式を解く」という作業と不定積分を計算するという作業は，全く別物です．

実は，A，C （C≠0）を任意定数とすると，不定積分 ∫dy/(C － A√y) は，初等関数では表示できません．

なお，与式の一般解は，

y＝ ((C/A)^2)[W(z)＋1]^2
z＝ (－1/C)exp(－(x＋c1)A^2 －1),　　　　　　c1 は積分定数．

で表されます．W(z)は，ランベルトのＷ関数です．下にランベルトのＷ関数のウイキペディアを貼っておきます．参考にして下さい．

ランベルトのＷ関数（ウイキペディア）
https://ja.wikipedia.org/wiki/W%E9%96%A2%E6%95%B0

以上です．

お礼

早速の回答有難う御座いました。教示お願いした式は、水槽に一定の水を供給しながら、一方ある量の水をドレンしていく時の水槽液面の変化を求めるものです。条件は簡単でも式を立てるとなかなか難しい事知りました。教示頂いた内容は自分には難しくこれから勉強していきます。有難う御座いました。