たぶん簡単な微分方程式の解法

質問

こんばんは。
今、微分方程式を解いています。
で、

ｒσr(2)＋３σr(1)＝０　（）内の数字はｒで微分した階数を示します。
σrはｒの関数です。

という単純な微分方程式なんですが。

実は、論文なので途中式が抜けていて、解はわかっているんです。
なので、それをみて解が1/（r＾2）と予想できたため、そこからもう一つの解を出しました。
（結局は定数になりました）

質問は、この方法の他に解き方はあるのかどうかしりたいのです。
私の方法だと、解が予想できなかった場合にっちもさっちもいかないですよね。

他にどのような解法があるのか、簡単でいいので教えてください。
お願いします。

回答No.1

eliteyoshi · ベストアンサー

オイラーの微分方程式で解けます。簡単に書くと
x^2(d^2y/dx^2)+ax(dy/dx)+by=f(x) ・・・(A)
について、x=e^tとすると、
(d^2y/dt^2)+(a-1)(dy/dt)+by=f(e^t)
となります。証明方法は教科書等を見てください。

　ご質問の微分方程式「ｒσr(2)＋３σr(1)＝０」は

r(d^2σ/dr^2)+3(dσ/dr)=0

でよろしいですね？まず両辺にrをかけると

r^2(d^2σ/dr^2)+3r(dσ/dr)=0 ・・・(B)

となり、式(A)の形になります。ただし、この場合は右辺が0なので斉次です。r>0の時、r=e^tとすると、(B)は

(d^2σ/dt^2)+2(dσ/dt)=0 ・・・(C)

となり、(C)の特性方程式はσ=e^(λt)とすると、

λ^2+2λ=0
λ(λ+2)=0
λ=0,-2

だから、
σ=A+Be^(-2t)　(A,Bは任意定数)
であり、r=e^tより

σ=A+Br^(-2)
∴σ=A+B/r^2

となります。
　質問者さんが求めたように線形独立な解は、定数Aと1/r^2になりますが、微分方程式では2つの解を線形結合しなければならないので上記のようになります。
　この場合はオイラーの微分方程式を使えば、解を予想しなくても解けます。オイラーの微分方程式はよく使う上に便利なので覚えておくと良いと思います。

参考URL：

http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/diffpub/node30.html

お礼

さっそくの回答ありがとうございます。

少々焦って書いていたため、本当の解（線形結合した後）を書くのを省略してしまいましたが
その最後の解の線形結合まで指摘して頂き、そして丁寧な解答をありがとうございます。
ちゃんと書いておくべきでしたね＾＾；

で、本題の解法。感動しました；；
私これでも大学３年なんですが、オイラーの微分方程式ももちろん知っていましたけど、そういう風な形にもっていく方法が主流なんですね；
なんか微分方程式を解く心構えを学んだ気がします。すごく勉強になりました。
授業だと、もうオイラーの微分方程式の形になっているヤツしか解いてないですし；
それに、どうしても練習的なことばっかで。ひらめきが養えませんよね。
本当に感動。。
こうやって自分で悩みきってから教えてもらうと楽しいですっ。

どっかのテレビ番組じゃないですけど、モヤッとじゃなくてスッキリですｗ

ぁー、いったい今まで何を勉強してきたのか、鬱になりそうです。（その相談はカテ違い。。

本当に丁寧な回答ありがとうございました！
参考サイトも拝見させて頂きます！