式の解き方は分からないので教えて下さい。

質問

経済学の勉強をしていたところ、分からない式に出くわしました。
前に進むことができません。
その式が以下です。

-40r^2-58r+3>0

この式が

(-20r+1)(2r+3)>0

こうなります。

たすき掛けの方法は分かっているのですが、
どのように考えればこのような因数分解が出来るのかわかりません。
1度質問したところ下記のような回答を頂きました。

回答
たすきがけ以外の方法では、2次方程式の解の公式を使う、という手もありそうです。
仮に、-40r^2-58r+3=0 とおいたとき、解の公式に当てはめると
r=-{29±√(29^2+120)}/40=-{29±√(841+120)}/40
=-(29±√961)/40=-(29±31)/40=-3/2, 1/20
ですから、
-40r^2-58r+3=-40{r+(3/2)}{r-(1/20)}となり、
左の{}には2を、右の{}には20をかけて外側の40を帳消しにすると、
-40r^2-58r+3=-(2r+3)(20r-1)・・・(1)

大変親切丁寧な回答であり、これなら自分にも理解できるだろうと思ったのですが、
いくつか分からない点がでてきてしまい、
理解に到達することができませんでした。

その分からない点を教えていただきたいのです。
初歩的なことばかりだと思いますが、お許しください。

回答で使われた解の公式は、

x=-b'±√(b')^2-ac/a

この式だと思われます。
そして当てはめる式が

-40r^2-58r+3=0　です。

なでの

　a=-40 b=-58 c=3

を代入することとなるはずです。

(1)
回答の式は解の公式に、分母が－40ではなく+の40が代入されていること。
また、bの箇所が-58ではなく29であること。
なぜこうなるのか皆目検討もつきません。

(2)
当解の公式であるb’のダッシュの意味は
どういったことを意味するのでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.3

asuncion · ベストアンサー

＞-40r^2-58r+3=0　です。
＞a=-40 b=-58 c=3

いちばん厳密（と思われる）な書き方をしてみます。
1)bが2で割りきれることを意識した書き方
r={29±√(29^2+40・3)}/(-40)
={29±√(841+120)}/(-40)
=(29±√961)/(-40)
=(29±31)/(-40)
=-3/2, 1/20

2)bが2で割りきれることを意識しない書き方
r={58±√(58^2+4・40・3)}/{2・(-40)}
=[58±√{(2・29)^2+4・40・3}]/{2・(-40)}
={58±√(4・29^2+4・40・3)}/{2・(-40)}
={58±2√(29^2+40・3)}/{2・(-40)}
この時点で、分母・分子が2で約分できます。あとは、1)と同じです。

補足

思案してくださり、本当にありがとうございます。
符号の混乱も解消でき、しっかり理解することができました。
分かるようになるということは楽しいことですね。
また、参考書の紹介もありがとうございました。
感謝の言葉を述べることしかできません。

NO1にも書いたのですが最後に、±√961＝±31となる
導出の仕方を教えていただけないでしょうか。
961を割れる数でどんどん割っていくやり方で、
±31を導きだそうとしたのですが、どうしても小数点へと広がってしまい
計算で出すことが出来ませんでした。
何か導き出すための計算方法はあるのでしょうか。
それとも、30×30＝900だから31×31＝961である
というような、予測を元に導きだすものなのでしょうか。
何度もすいません。
よろしくお願いします。

回答No.2

asuncion

前の回答も今回の回答も、もしかすると
{
を書いた場所がわかりづらかったかもしれませんね。

r={-29±√(29^2+120)}/40

の方がわかりやすかったかもしれません。

回答No.1

asuncion

本人です。
(1)
aのマイナス符号は、当該の式の先頭に書いてありました。省略していたり間違っていたりしたわけではありません。
解の公式の特別な場合として、bが2の倍数である場合の式を書きました。
もう一度書いてみます。
r=-{29±√(29^2+120)}/40 …… (1)

bが2の倍数であることを意識しない（ふつうの）書き方は、
r=-{58±√(58^2+480)}/(2×40)
=-{58±√(58^2+4×120)}/(2×40)
=-{58±√((2×29)^2+2^2×120)}/(2×40)
=-{58±√(2^2×29^2+2^2×120)}/(2×40)
=-{58±2√(29^2+120)}/(2×40)
ここで、分子・分母が2で約分できますので、
r=-{29±√(29^2+120)}/40
(1)式と同じになりました。

なお、「検討もつきません」ではなく、「見当もつきません」です。

(2)
b'のダッシュの意味は、上で書いた、もともとのbが2で割りきれる場合のことを表わしています。

補足

たびたびすいません。
やっと理解することができました。ありがとうございました。
たびたびの質問で恐縮なのですが、教えて欲しいことがあります。
±√961　をどうやって　±31　だと出したのでしょうか。
961を割れる数でどんどん割っていくやり方で、二乗して961になる数を
導出しようと試みたのですが、できませんでした。
何か計算方法でもあるのでしょうか。
それとも、最早これは暗記しておくべきことなのでしょうか。
よろしくお願いします。