３次式について

質問

はじめまして。
今、数学でこまっているんですが、
3次関数のことで、たぶん基本的なことだと思われるんですが、分からないので質問させてもらいます。

【質問内容】
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f(x)はxの３次式で、f(-1)=0、f(2)=0
であるから、
f(x)=(x+1)(x-2)(px+q)
とおける。
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（これは、ある問題の解答(略解)に書かれていた一文です。）

なぜ？ f(x)=(x+1)(x-2)(px+q) とおけるのでしょうか？

公式のようなもの？(それとも、公式そのもの？)
にあてはめてるのでしょうか？

2つの解がともに0の場合のみ、適用できるのもの？

ちなみに、同じような内容で、
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g(x)はxの2次式で、g(-1)=0、g(2)=0
であるから、
g(x)=a(x+1)(x-2)
とおける。
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というのは、理解しています。
この2次式の理解の度合いとして、

●公式みたいなものにあてはめている。
●aは傾き を表しており、
g(x)はy=0のとき、x=-1、x=2 という2つの場合(解)(交差点)が存在する。
●2つの解がともに0の場合のみ、適用できる。
という程度です。

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とても、簡単なようなことなんですが、
調べても出てこないので困っています。

どうかご教授をお願いいたします。

回答No.4

age_momo

調べるなら『剰余定理』と『因数定理』です。まずは剰余定理を理解しましょう。
そうすれば
f(x)が3次式なら
f(2)=0　⇒　f(x)=(x-2)(x^2+ax+b)
が理解できます。

2次式なら『理解』している(というかなんとなく納得している)ようなので
そこから出発してみましょう。

f(x)=ax^2+bx+c=a(x^2+b/a*x+c/a)　(a≠0)

式が簡単になるように書き換えておきます。

f(x)/a=x^2+dx+e　(d=b/a , e=c/a)

割り切れる割り切れないは置いといて、(x-2)で割って余りを
求めて、その情報から式を次のように書き換えることができます。

f(x)/a=(x-2)x+2x+dx+e=(x-2)x+(d+2)(x-2)+2(d+2)+e
=(x-2)(x+d+2)+2d+e+4　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・・・・(1)

再度書きますが、(x-2)を因数に持っていようといまいと書き換えることが
できます。例えば
f(x)=x^2+x+1=(x-2)(x+3)+7
この場合はf(2)=7≠0なので(x-2)で割ると余りがでますが、式変形はできます。

f(2)=0の時は式(1)の左辺はf(2)/a=0,右辺の前半は(x-2)=0から結局、

0×(2+d+2)+2d+e+4 = 2d+e+4 = 0

でなければなりません。つまり、f(2)=0なら(x-2)で割った余りが0で
なければなりません。結論として

f(x)=a(x-2)(x+d+2)と因数分解されていなければなりません。
これを3次式、4次式と拡大していけばよいのです。また、
f(-1)=0でもあるならやはり、(x+1)でも因数分解できますから

f(x)=(x+1)(x-2)(px+q)

となることが分かります。

回答No.3

kumipapa

「公式にあてはめる」などと言っていてはいけない。
そんなことだから、２次式は分かった気になっていて、それが３次式になったとたんに分からなくなる。そういうのは、「２次式なら理解している」とは言わない。

＞　2つの解がともに0の場合のみ、適用できるのもの
解・・・意味不明。解というのは関数の値のことを言っているのですか？

２次式だろうと３次式だろうと４次式だろうと、f(α) = 0 ってことは x = α が f(x) = 0 の解なのだから、f(x) を因数分解すれば (x-α) を因数に持つ。

こんなところで、ちまちま教えて済むような問題ではありません。
問題は、質問者の学習の仕方にあるのでは。このまま教えても身にならないでしょう。
まず、「因数定理」を教科書で調べる。どうしても見つからなければネットで検索。分からない点があれば、さらに教科書で調べる。それを理解しようとする。力尽きたら、理解し難い点を具体的にして再度質問するのがよろしいでしょう。力尽きるような難しい話でもない筈ですが。

回答No.2

noname#57605

グラフと式の関係ですね。
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g(x)はxの2次式で、g(-1)=0、g(2)=0
であるから、
g(x)=a(x+1)(x-2)
とおける。
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というのは、理解しています。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
グラフで考えると
ｙ＝g(x)　　｛g(x)はxの2次式｝
と
y=0 (x軸)
を連立
させてg(x)=0
を解くとと、g(-1)=0、g(2)=0から
ｘ=－１、２になったと言うことです。
ｙ＝g(x)とy=0 (x軸)の連立ですから、放物線とｘ軸の交点であることが分かります。つまり、ｘ軸上　ｘ＝－１、２で交わっているということですう。ですのでｘ軸とｘ＝－１、２で交わる放物線のグラフの式を考えますと。ｙ＝g(x)=a(x+1)(x-2)とおけます。
展開して、ｘ^２の係数は1とは限りませんのでａがあります。

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3次関数では、グラフではＮやИを丸めたような形ですが、
同じように考えてみます。

>>f(x)はxの３次式で、f(-1)=0、f(2)=0
であるから、
f(x)=(x+1)(x-2)(px+q)
とおける。
グラフで考えると

ｙ＝ｆ(x)　　｛f(x)はxの3次式｝
と
y=0 (x軸)
を連立
させてｆ(x)=0
を解くとと、ｆ(-1)=0、ｆ(2)=0から
ｘ=－１、２になったと言うことです。
ｙ＝ｆ(x)とy=0 (x軸)の連立ですから、曲線とｘ軸の交点(共有点)であることが分かります。つまり、ｘ軸上　ｘ＝－１、２で交わっているということです。しかし、3次関数ですから、最大3個までｘ軸と交われます。そこで3個目をｘ＝ｔと置きます。2個しか交わらない時はどうするのかと言う疑問もわくかもしれませんがｔ＝－１やｔ＝２ときが該当するので大丈夫です。
それではｘ軸とｘ＝－１、２、ｔで交わる3次関数のグラフの式を考えます。さっきに要領で
y=f(x)=a(x+1)(x-2)(x-t)
とすれば０Kです。
ｘ＝－１でもｘ＝２でもｘ＝ｔでも代入すれば０になります。
展開して、ｘ^3の係数は1とは限りませんのでａがあります。
a=p,t=-q/pとすれば
y=f(x)=a(x+1)(x-2)(x-t)=ｐ(x+1)(x-2)(x+q/p)
=(x+1)(x-2)(px+q)となります。

回答No.1

aph

f(x)がxに関するn次式とすると、f(x) = 0のに関する解は重複解、複素数解もあわせれば必ずn個になります。
今回の場合はf(x)は３次式でx = -1,2という解が存在することは分かっているので(x + 1)、(x - 2)という因数を持つことが分かり、もう一つの解をpとでもすれば(x - p)という因数を持つことになる。
ここでf(x)の最高次数の係数をaとすれば
f(x) = a(x + 1)(x - 2)(x - p)
となります。