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解の公式を利用した因数分解
- 2次方程式の解の公式を利用して、式を因数分解する手順がわからない。
- 式が形如6x^2-13x+6=0の場合、解はx=3/2, 2/3であり、これらの解を持つ2次方程式は6(x-3/2)(x-3/2)=0となる。
- 解の公式を利用して因数分解する方法の理由についてわからない。たすき掛けを使った方が速いのではないか。
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No.６です。 頑張っておられるようですが、まだよく理解していないみたいなので、もう少しだけ説明します。 一般に、２次関数は y=ax^2+bx+c ただし、a,b,cは実数、a≠０ 上のy=0の場合を２次方程式と呼んでいるみたいです。 次の式を因数分解せよ （１）2x^2-3 （２）2x^2+6xy+4y^2-2x-6y-4 （1)は、(2x+√6)(x-√6/2) になったのですが、合ってるでしょうか。 （1)は、視覚的にも （√2x+√3)（√2x-√3) となります 答えを確認するには、因数分解した式を展開すればそれでよい。 上の例でわかるようにたすきがけは、各々の係数が有理数（特に整数）のときにしか用いることが出来ないということがお分かりでしょう。 (2)は答えすら出ず詰まってしまいました。 無理矢理に解き進めていくと虚数がでてきてしまったので(汗 ax^2+bx+cのb,cにあたる数がよくわからないです。 （２）は 2x^2+6xy+4y^2-2x-6y-4 をｘまたはｙについて整理して 2x^2+(6y-2)x+4y^2-6y-4 xについて整理した a=2,b=6y-2,c=4y^2-6y-4 として解の公式を適用すれば、 わりと簡単に解けます 前回の解答の訂正と補足 この解を持つ2次方程式は 6(x-3/2)(x-3/2)=0 ＊ x^2の係数を１にした 2(x-3/2)・3(x-3/2)=0 (2x-3)(3x-2)=0 ＊ 単に出題者が求めた形 訂正：単に出題者が要求した解答 単に出題者が求めた形ありますが、何故6を2と3に分ける必要があるのですか。 3(x-3/2)・2(x-3/2) でも、 6(x-3/2)(x-3/2)=0 でもいいような気がします。 ＊式はできる限りシンプルにする 訂正：（ ）の中の分母を払うため 最後に、このような問題は高校の数学の最初の単元に出てきます。 新高校生の半分くらいはここで挫折すると言われています。原因は１０年くらい前の教科書改訂で中３の数学から解の公式が削除されたことにあります。解の公式を自分で導く過程で平方完成も理解できます。何かの参考書などに乗っていますので,ぜひチャレンジして下さい。
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- kenjoko
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単に問題を解くことより、このようなことに疑問を持つことが大切です。 私にしてみれば今どき教科書で、たすき掛けをおしえているのが不思議に思えます。 因数分解をする目的を考えますと、方程式を解く、計算を楽にする、図形をイメージする、などがあげられます。 ただ単に因数分解せとという問いはナンセンスに思います。 2次方程式 ax^2+bx+c=0の解は公式 x={-b±√(b^2-4ac)}/2a で与えられますがこれで十分なのです。 6x^2-13x+6 〔解〕 6x^2-13x+6=0 の解は x=3/2 , 2/3 この解を持つ2次方程式は 6(x-3/2)(x-3/2)=0 ＊ x^2の係数を１にした 2(x-3/2)・3(x-3/2)=0 (2x-3)(3x-2)=0 ＊ 単に出題者が求めた形 まず、「この解を持つ2次方程式は」の次に 6(x-3/2)(x-3/2)=0 が、導き出されるのは何故ですか。 (x-3/2)(x-2/3)=0 も、x=3/2 , 2/3 という解を持ちますよね？ どうしてx^2の係数6がくっついているのでしょうか。 ＊ 前の人が答えているので省略 次に、 6(x-3/2)(x-3/2)=0 2(x-3/2)・3(x-3/2)=0 とありますが、何故6を2と3に分ける必要があるのですか。 3(x-3/2)・2(x-3/2) でも、 6(x-3/2)(x-3/2)=0 でもいいような気がします。 ＊式はできる限りシンプルにする 最後に、 何故こんな面倒な方法を使って因数分解するのですか？ 普通にたすき掛けをして因数分解した方が速いのに、どうして「2次方程式の解の公式を利用して」因数分解する方法を身につけなければならないのでしょうか。 数学は「帰着」させる学問です。たすき掛けではいろいろなパターンが考えられて帰着させることが困難です。 次の問いを、たすき掛けで解いてみてください。大変なはずです。 次の式を因数分解せよ （１）2x^2-3 （２）2x^2+6xy+4y^2-2x-6y-4 （２）は解の公式を用いると意外と・・・・ 上記の解き方はセンター試験では通用しない場合があるので注意。 センター試験では解き方が指定される。 以上、参考にでもしていただければ幸いです。
お礼
丁寧なご解説ありがとうございます。 出題してくださった問題ですが……。 (1)は、 (2x+√6)(x-√6/2) になったのですが、合ってるでしょうか。 (2)は答えすら出ず詰まってしまいました。 無理矢理に解き進めていくと虚数がでてきてしまったので(汗 ax^2+bx+cのb,cにあたる数がよくわからないです。 解ったつもりでいましたが、どうやら練習が必要なみたいですね……。
- banakona
- ベストアンサー率45% (222/489)
＞何故こんな面倒な方法を使って因数分解するのですか？ ＞普通にたすき掛けをして因数分解した方が速いのに、どうして「2次 ＞方程式の解の公式を利用して」因数分解する方法を身につけなければならないのでしょうか こんな感想を持つ人がいるんですね。 私は全く逆で、「解の公式で因数分解できるなら、たすき掛けなんて覚える必要ないじゃないか」と思います。 ５，６問ほど双方の方法で因数分解して比べてみてください。よほど簡単な問題でない限り、解の公式の方が遥かに思考力が少なくてすみます。 たすき掛けで因数分解できるのは、出題が「たすき掛けで因数分解できる」ように作られているからです。
お礼
たすき掛けのほうが簡単に思えたのは、今まで解いた問題が「たすき掛けで因数分解できる」式だったからなんですね。 他の問題も解いて見ましたが、やっぱり解の公式を使ったほうが相当簡単でした。 ありがとうございました。
- owata-www
- ベストアンサー率33% (645/1954)
＃２ですが、確かにこの問題でやる必要は全くないですが、容易に因数分解できないような問題の時は、解の公式を使った方がいいですね どちらも使えるようにしておいたほうがよいと思います
お礼
やっぱり、この問題はたすきがけの方が簡単ですよね。 ありがとうございました。
- Quattro99
- ベストアンサー率32% (1034/3212)
書き忘れました。 6があるのは、元の式の2次の係数が6だからです。 (x-3/2)(x-2/3)を展開したときの2次の係数は1です。しかし、元の式の2次の係数は6ですから、因数分解したものを展開したときの二次の係数が6になるようにしているだけです。
お礼
わざわざ追加してくださってありがとうございます。
- owata-www
- ベストアンサー率33% (645/1954)
まず結論から 何故こんな面倒な方法を使って因数分解するのですか？ 普通にたすき掛けをして因数分解した方が速いのに、どうして「2次方程式の解の公式を利用して」因数分解する方法を身につけなければならないのでしょうか。 わかりません、たすきがけで充分かと思います。 ＞どうしてx^2の係数6がくっついているのでしょうか。 問題のx^2の係数が6だからです 6x^2-13x+6=6(x-3/2)(x-3/2)≠(x-3/2)(x-2/3) ＞何故6を2と3に分ける必要があるのですか。 (2x-3)(3x-2)=0のように分数を出さずに、整数のみの式にしたいからでしょう
お礼
>問題のx^2の係数が6だからです 6x^2-13x+6=6(x-3/2)(x-3/2)≠(x-3/2)(x-2/3) おかげで納得できました。 丁寧なご回答ありがとうございました。
- Quattro99
- ベストアンサー率32% (1034/3212)
6x^2-13x+6=0 の解がx=3/2 , 2/3ということは、6x^2-13x+6は必ず(x-3/2)と(x-3/2)を因数に持つからです。もし持たないとすると、xに3/2 , 2/3を代入したときに6x^2-13x+6が0になりませんから。「因数定理」で検索してみてください。 たすき掛けでいつも必ず簡単に因数分解できるとは限らないからです。 一方、2次方程式の解の公式なら、必ず解が見つかりますから、必ず因数分解することが出来ます。
お礼
>たすき掛けでいつも必ず簡単に因数分解できるとは限らないからです。 ありがとうございました。 因数定理、調べて見ますね。
お礼
ご丁寧にありがとうございます。 (1)と(2)両方ともよく理解できました。 やっぱり、たすき掛けってかなり不便なモノなんですね……。 授業についていくためにも、同じような問題を繰り返し解いてみようと思います。 本当にありがとうございました。