経済学を勉強して、因数分解で躓きました。

質問

Y^2-100Y-2400=0
の式なのですが、この式の因数分解の答えが、
(Y-120)(Y+20)=0
Y=120,-20
となります。

この解を導く場合、一般的にどのような方法を使うのでしょうか。
自分の場合、まずたすきがけで解を導こうとしました。
そのやり方はいつも通り、2400を割れる数字でどんどん割っていく方法です。
そしてその候補から検討を付けて、足して～引いて～
とやって、正答に近づこうとしました。
しかし2400を割っていく段階で候補が多すぎて、
たすきがけで解を導くのは現実的ではないなと感じました。
しかし、かといって、解の公式で解こうとすると、
Y=60,40
となってしまい、なぜか正答を出すことができませんでした。

1．この式はどういう風に解くのが良いのでしょうか。

2．解の公式で解ける問題なのでしょうか。

よろしくお願いします。

回答No.1

NPAsSbBi · ベストアンサー

Y^2-100Y-2400=0
を因数分解すると、
(Y+a)(Y+b)=0
という形になります。

aとbを決定するためには、
掛けて-2400に、足して-100になる組み合わせを探します。

まず、掛けてマイナスになるということから、aとbは符号が違うことが分かります。

掛けて2400になる組み合わせですが、
2×1200、3×800、4×600、・・とやっていっても良いのですが、
それらの差(符号が違うので、足すのではなく引く)は1898、797、596、・・と、
目標の100には程遠い値です。
ということは、正解の組み合わせは、aとbの値がさほど大きくは変わらないはずなので、
掛け合わせて2400になる、同じくらいの大きさの数字を探ってみます。

例えば、60と40。
これだと、差は20なので、目標100を通り過ぎてしまい、値が近すぎることが分かります。
では、80と30。
差は50になりました。
近づいたけど、もう少し離れた値のようです。
では、100と24。
差は76。もう一息。
なら、120と20。これで、差が100になりました。

符号は、「足して-100」なので、120がマイナス、20がプラスです。
従って、aは-120、bは20、(Y-120)(Y+20)=0
答は、Y=-20, 120　となります。

因数分解を試みて不可能だった二次方程式は、続いて解の公式を使って解くことになりますが、
当然、因数分解でも解の公式でも、得られる答は同じになります。

aY^2+bY+c=0 という二次方程式の解の公式は、
Y={-b±√(b^2-4ac)}/(2a) ですので、
Y^2-100Y-2400=0　では、a=1、b=-100、c=-2400 です。
これらを解の公式に当てはめると、
2a=2
-b=100
b^2-4ac=10000-4×1×(-2400)=10000+9600=19600
√19600=140
Y=(100±140)/2=-20, 120 と、因数分解したときと同じ解が得られます。

お礼

回答ありがとうございます。
とても丁寧で詳しくて、自分にもよく理解することができました。
教えてもらったことを確実に自分のものにして、
自由に使える知識にします。
解の公式に関しては、自分の計算まちがいだったのですね。

回答ありがとうございました。

回答No.6

bgm38489

+20 ！！！

回答No.5

bgm38489

-20でした(・_・;)

回答No.4

bgm38489

かけて-2400、足して-100ですね。こういう場合、両方が10の倍数ということがわかりますから、かけて-24、足して-10の数を考えます。
すると、-12と２が出てきますね。すなわち、両方を10倍して、-120と20。
すなわち、(y-120)(y+2)という風に因数分解できます。

因数分解には、こういうテクニックもあるのです。

お礼

回答ありがとうございます。
10の倍数と言われて、なるほどと思いました。
このテクニックは、自分で使いこなせるものしないといけないなと思いました。

回答ありがとうございました。

回答No.3

cisim_body

＞　しかし、かといって、解の公式で解こうとすると、
＞　Y=60,40
＞　となってしまい、なぜか正答を出すことができませんでした。

二次方程式の解の公式で解けますが・・・？

［－ｂ±√｛ｂ＾２－４ａｃ｝］／２にａ＝１，ｂ＝－１００，ｃ＝－２４００を代入して、
＝［－（－１００）±√｛（－１００）＾２－４・１・（－２４００）｝］／２
＝［１００±√｛１００００＋９６００｝］／２
＝［１００±√｛１９６００｝］／２
＝［１００±１４０］／２
＝５０±７０
＝１２０，－２０

襷がけ方で、組み合わせが多いなんて文句を言う人は、素直に二次方程式の解を求めれば、問題なく解けます。
襷がけ方は、それなりのカンで見つけるようなものだから。（特に中学生の夏休みの宿題のように綺麗な解が用意されている場合）

お礼

回答ありがとうございます。
自分の計算が間違っていたのですね。
ご指摘ありがとうございます。
たしかにたすき掛けは、勘のようなところもありますよね。
個人的には、なんだかふわふわしていて、性に合わないなぁなんて思いました。
解の公式はピシっと解が出るので好きなのですが。
でも、たすき掛けに慣れることも大切だと思うので、どちらも練習して
使いこなせるようにします。

回答ありがとうございました。

回答No.2

おみみ こみみ（@dreamhope-ok）

Y^2-100Y-2400=0

因数分解 (Y-120)(Y+20)=0 Y=120,-20

この解を導く場合、一般的にどのような方法を使うのでしょうか。

自分の場合、まずたすきがけで解を導こうとしました。

2400を割れる数字でどんどん割っていく方法です。

＊かけると-2400、たすと-１００になる数をイメージします。

　和が-100、積が2400なので１０の倍数が入りそうです。これは慣れだと思います。

　10　と　-240　積-2400　和-230　　ダメ

　20　と　-120　積-2400　和-100　　ＯＫ！

　解の公式は最終手段だと思いますよ。

お礼

回答ありがとうございます。
10の倍数が入るんだな、ということに気づくことが大切なポイントだったのですね。
それと、やはりたすきがけは慣れなのですね。
とても分かりやすかったです。
回答ありがとうございました。