二次式の因数分解で二次式＝０とおく理由について

質問

二次式ax^2+bx+cを因数分解するために、ax^2+bx+c=0の解をα、βとして
ax^2＋ｂｘ＋ｃ＝a｛x^2+（b/a）*x+c｝=a｛x^2-(α＋β）ｘ＋αβ｝＝a(x-α）（ｘ－β）と説明が教科書に
ありました。
つまり-b/a=α＋β、ｃ/a=αβとして計算したのでしょうが、それは、ax^2+bx+c=0のときのことなのでax^2+bx+cの値が解っていないのになりたつ理由がしっくりきません。結果的に説明のやり方
で因数分解ができるはわかるのですが、二次＝０とおく理由を教えてください？
またa(x-α）（ｘ－β）以外に因数分解の方法があるのでしょうか、あったら教えてください？
よろしくお願いします。

回答No.3

windwald · ベストアンサー

＞でax^2+bx+cの値が解っていないのになりたつ理由がしっくりきません。
まず単純に因数分解されたあとの式：a(x-α)(x-β)を考えるのです。
展開するとax^2+(-α-βa)x+αβaとなり、この式は当初の式を因数分解しただけの式のはずですから
ax^2+bx+c=ax^2+(-α-β)ax+αβa
であると言えます。

ところで、ここでいうαとβは何を意味することができるでしょうか。
ax^2+(-α-β)ax+αβa＝０としたときのxの解に他なりませんね。
(つまり、このときax^2+bx+c＝０でもある)
ここではじめて、二次式＝０と仮定することの意味が出てくるんです。

お礼

理解がすすみました。ありがとうございました。

回答No.2

kenjoko

＞二次式ax^2+bx+cを因数分解するために、ax^2+bx+c=0の解をα、βとして

二次式をax^2+bx+c=0とおいて、その解を求めると、簡単に因数分解できるからです。

＞ax^2＋ｂｘ＋ｃ＝a(x-α）（ｘ－β）と説明が教科書にありました。
＞つまり-b/a=α＋β、ｃ/a=αβとして計算したのでしょうが

全然関係ありません

＞それは、ax^2+bx+c=0のときのことなのでax^2+bx+cの値が解っていないのになりたつ理由がしっくりきません。
ax^2+bx+c=0でなく、右辺が不定でも因数分解できますよ。そんなに難しくはない。

ポイントはax^2+bx+c＝P^2-Q^2の形に変形すること。

お礼

参考になりました。ありがとうございました。

回答No.1

eeb33585

そうすると解きやすいからです。
a(x-α）・（ｘ－β）=0
この式はa>0の場合は、
(X-α)=0又は(X-β)=0
という意味です。
（等号があるので、右辺が0だから左辺も0）
だからX=α又はX=βとすぐわかります。
与式＝13としても数学的には問題ありませんが、
私は解く気になれません。

お礼

参考になりました。ありがとうございました。