微分積分学の問題について

質問

以下の問題がわかりません。解答よろしくお願いします。

・一様収束か判定せよ。
Σ[n=1,∞] x^2/(1+x^2)^(n-1) (-∞<x<∞)

よろしくお願いします<(_ _)>

回答No.2

alice_44

r = 1/(1+x^2) と置けば、0 < r < 1 であって、
Σ[n=1,∞] x^2/(1+x^2)^(n-1) = x^2 Σ[n=1,∞] r^(n-1).
問題は、等比級数が一様収束か？ということになる。
結論から言えば、等比級数を含む冪級数は、
収束円内で広義一様収束であって、一様収束でない。
つまり、収束円の円周近くで一様ではない。　(＊)
そのため、質問の級数は x = 0 の近傍で一様ではない。

(＊)の理由は…
一様収束する連続関数列の極限は、連続関数になる　(＊＊)
が、Σ[n=1,∞] r^(n-1) = 1/(1-r) だから
lim[r→1] Σ[n=1,∞] r^(n-1) は収束しない。
従って、Σ[n=1,∞] r^(n-1) は r = 1 を含む範囲で
一様ではあり得ない。

(＊＊)の理由は…
省略。こちらに証明がある↓
http://www.misojiro.t.u-tokyo.ac.jp/~murota/lect-kisosuri/uniformconv070914.pdf
この事実は大切なので、知っておくとよいと思う。

お礼

遅れました、ありがとうございます

回答No.1

muturajcp

N=(全自然数)
R=(全実数)
n∈N
x∈R
f_n(x)=Σ_{k=1～n}(x^2)/(1+x^2)^{k-1}
f(x)=Σ_{n=1～∞}(x^2)/(1+x^2)^{n-1}
とすると
f_n(x)=(x^2)[1-{1/(1+x^2)^n}]/[1-{1/(1+x^2)}]
f_n(x)=1+x^2-[1/(1+x^2)^{n-1}]
だから
f(x)=lim_{n→∞}f_n(x)=1+x^2

∃1/2>0
∀n∈N
→
∃m=n+1>n
2^{1/(m-1)}>1
2^{1/(m-1)}-1>0
∃x_m=√(2^{1/(m-1)}-1)>0
|f_m(x_m)-f(x_m)|=1/{1+(x_m)^2}^{m-1}=1/2
↓
lim_{m→∞}f_m(x_m)≠lim_{m→∞}f(x_m)
だから
一様収束しない

お礼

遅れました、ありがとうございます。