微分積分のテーラー展開の問題

質問

log(1＋x)にa＝０，n=6としてテーラーの公式を適用よ、と言う問題で
解答がlog(1＋x)=x-x＾2/2＋x＾3/3-x＾4/4＋x＾5/5＋Ｒであり、
分母が階乗になってないのと、計算不可能なlog１はどうなったのか、と思い分かりませんでした。分かる方教えて下さい。

回答No.3

info222_ · ベストアンサー

>log(1＋x)にa＝０，n=6としてテーラーの公式を適用よ
まともな問題文を書くようにしてください。
たとえば
「自然対数log(1+x)をx=0のまわりにxの６乗の項までテーラー展開せよ。」
というように。

以下に正攻法でテーラー展開してみましょう。

>分母が階乗になってないのと、計算不可能なlog１はどうなったのか、と思い分かりませんでした。

そうすれば展開係数が±(1/n)となる理由がわかるでしょう。
なお、log(1)=0 はどの教科書にも載っている基本的な対数の性質だよ。これは常識！！

［解答］
f(x)=log(1+x), f(0)=log(1)=0
f'(x)=1/(1+x), f'(0)=1
f''(x)=-1/(1+x)^2, f''(0)=-1
f'''(x)=2/(1+x)^3, f'''(0)=2!
f''''(x)=-2*3/(1+x)^4, f''''(0)=-3!
f'''''(x)=2*3*4/(1+x)^5, f'''''(0)=4!
したがってx=0のまわりのテーラー展開は
f(x)=f(0)+f'(0)/1!*x^1+f''(0)/2!*x^2+f'''(0)/3!*x^3+f''''(0)/4!*x^4
+f'''''(0)/5!*x^5+R
=0+1*x-(1/2!)x^2+(2!/3!)x^3-(3!/4!)x^4+(4!/5!)x^5 +R
=x-(1/2)x^2+(1/3)x^3-(1/4)x^4+(1/5)x^5 + R
(|x|<1で収束)

回答No.2

transcendental

｜ｘ｜＜１のとき、
１/（１＋ｘ）＝１－ｘ＋ｘ＾２－ｘ＾３＋ｘ＾４－・・・
が成り立ちます。
この両辺をｘで積分して、
ｌｎ（１＋ｘ）＝ｘ－（１/２）ｘ＾２＋（１/３）ｘ＾３－・・・
となります。（ｌｎ１＝０です）

回答No.1

Tacosan

そもそも a とか n とか言われても何のことやらさっぱりわからんのだけどねぇ.

そして, 「ふつうのひと」は log 1 を計算できる.