広義積分の問題で

質問

∫(０～∞）sin(x)/√x dx

の収束や発散についてを問う問題です。

∫(０～１）と∫（１～∞）の二つに分けて議論する、ということは、わかるのですが、
中身がうまく表記できません。
Cauchyの判定法をつかったりっというのも、なんとなくわかるのですが…

ですので、
∫(０～１）と∫（１～∞）の両方にわけて収束を示す証明を教えて欲しいです。
詳しく教えていただけると、とてもうれしいです。

回答No.1

keyguy

0<x<πで0≦sin(x)/√(x)≦√(x)であるから
∫(0<x<π)dx・sin(x)/√(x)は収束する。

nを自然数とし
(2・n-1)・π<x<2・n・πでu(x)=sin(x)/√((2・n-1)・π)とし
2・n・π<x<(2・n+1)・πでu(x)=sin(x)/√((2・n+1)
・π)とし
u[n]=∫((2・n-1)・π<x<(2・n+1)・π)dx・u(x)とし
s[n]=∫((2・n-1)・π<x<(2・n+1)・π)dx・sin(x)/√(x)とすれば
u[n]<s[n]≦0であり
Σ(0<n<∞)・u[n]が収束するので
Σ(0<n<∞)・s[n]=∫(π<x<∞)dx・sin(x)/√(x)も収束する。

お礼

回答ありがとうございます。
えっと。。０～１ではなく０～πとして求めてる。。ってことですね。
解き方は、これと、同じように解けばいいと思うので、
頑張ってみます。