大学の微分積分の問題

質問

以下の問題の答え解き方をお願いします。
問題のみで回答が無いので、わかるかた1問でもよいのでご教授ください。

(1)関数f(x,y)=3x^2+6xy-2y^3-3の極小値は？
xで微分したもの=yで微分したもの=0で候補となる(a,b)を求めて
ヘッセ行列式に当てはめてみても0未満もしくは虚数となってしまい
求め方わかりません。

(2)D:-1≦x+y≦1,-1≦x-y≦1のとき∬(下付きD)(x+y)^2 e^(x-y)dxdyを求めよ。
範囲を書いてみたところ正方形になったので変数変換かなとも思ったのですが、そこからがわからなくなってしまいました。

(3)べき級数Σ(下付き:n=1 上付き∞){(n^n)x^n}/n!の収束半径を求めよ
分数を使う方法もルートを使う方法も途中で詰まってしまいました。

(4)log(1+x)=Σ(下付き:n=1 上付き∞){(-1)^(n+1)x^n}/nを用いて
log(2+x^2)のマクローリン展開の収束半径とx^4の係数を求めよ
2+x^2を(x+1)(x-1)+3と考えるのかなと思ったのですが、そこから分からなくなりました。

ぜひよろしくお願いします

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

上から順に:
(1) 偏導関数がどうなるか, その零点がいくつでヘッセ行列式がどうなるかを書いてみてください (←単に計算するのが面倒なだけ, ではある). 少なくとも「虚数」というのは何かを勘違いしているものと思われます.
(2) 素直に変数変換すればいいだけです. ただしヤコビアンを掛けることに注意. やってみてください.
(3) Stirling の公式で分母の n! を近似するのが簡単. もちろん係数の比を計算して n→∞, でもできることはできます.
(4) それはちょっとずれてる. log (2+x^2) = log (1+x^2/2) + log 2 で第1項を展開する. 同じ x だと混乱するから log (1+y^2/2) として x を y^2/2 で置き換えてみる?

お礼

(4)
log (2+x^2)=log (1+x^2/2) +log 2と考える。
log 2のマクローリン展開はlog 2を微分すると0なので　=log 2
log (1+x^2/2)のマクローリン展開は x^2/2=y と考えるとlog (1+y)となる。
log(1+y)のマクローリン展開=Σ(下付き:n=1 上付き∞){(-1)^(n+1)y^n}/n
ここでyを戻すと
Σ(下付き:n=1 上付き∞){(-1)^(n+1)(x^2/2)^n}/n
=Σ(下付き:n=1 上付き∞){(-1)^(n+1)x^2n}/(2n^n)n
x^4の係数を求めたいのでn=2を代入
よってx^4の係数=-1/8
で、ここからが疑問なんですが
収束半径を求めるためにはa(下付きn)x^nの形だと思うのですが
xが2n乗になってしまい詰まりました。この形のままanを考えてもよいのでしょうか?

(3)はまた後で追加させていただきますが、
お礼欄なので1度お礼させていただきます。
シンプルな回答ながらも的確なヒントとなり理解しやすかったです。
明日の試験に生かせるようがんばります。
本当にありがとうございました。

補足

(1)
fx=6x+6y,fy=6x-6y^2
fxx=6,fyy=-12y,fxy=fyx=6
fx=6x+6y=0よりx=-y
fyに代入し-6y-6y^2=0
両辺-6で割り y(1+y)=0←ここをy(1+y^2)間違えてました。
候補点(0,0)(1,-1) ヘッセ→-72y-6
(0,0)の時　-6<0→極地でない
(1,-1)の時　64>0→極地である→fxxに(1,-1)代入=6>0→極小
fに(1,-1)代入=-4 よって極小値は-4
●どうやら単純な計算ミスだったようです。

(2)～(4)はあとで追加します

回答No.6

info22

#2,#3,#4です。
A#3に書いた(3)のヒントの収束半径について
正確な収束半径は
「-1/e≦x<1/e」
かと思います。

求め方は参考URLの収束判定法を使えばよい。
仮に0＜xで考えるなら、級数の各項は全て正なので、正項級数となるので
lim_[n->∞] a_(n+1)/a_n
=lim_[n->∞] x{(n+1)/n}^n
=lim_[n->∞] x(1+(1/n)}^n
=xe
ここで、
lim_[n->∞] (1+(1/n)}^n=e
はネイピア数（自然対数）の定義です。
ダランベールの収束判定法を適用すれば
0≦xe<1であれば与えられた無限級数は収束する。
これから
0<x<1/e
が収束条件になる。
x<0の場合も各項の絶対値をとって考えれば同じように出来るでしょう。
あわせて、|x|<1/eの収束半径が出ます。
x=1/eやx=-1/eを含めるかは、実際にxに代入して収束するかを調べれば、収束半径に境界を含めるか、どうかを判断すればいいでしょう。

自分でやって確認してください。

[検討]x=1/eでは級数のn項目はゼロに収束しますが、級数は発散します（発散するとして扱います。）。しかし、無限級数（無限項和）の発散級数を扱うこと数学の分野があり、その扱い今回の無限級数に適用すればば、x=1/eで「-2/3」といった収束値を持ちます。
良く知られた有名な例として
1+2+3+ ... = -1/12
2+2^2+2^3+ ... = -2
などがあります。（高校以下の数学では左辺は∞として扱います。）
正の数を有限個加えても正のはずですが、無限項加えると負の数になりそれが収束値として扱われる、不思議な世界です。
ネットで調べてみると面白いかも知れません。

参考URL
http://takeno.iee.niit.ac.jp/~shige/math/lecture/misc/series1/node5.html
無限級数の収束判定法↓

参考URL：

http://phaos.hp.infoseek.co.jp/part2/sequence/limit/appendices/criteria.htm

回答No.5

Tacosan

もう試験も終わってるだろうから答え書いちゃってもいいだろう.
「収束半径を求めよ」って問題なんだから, 不等式であらわしちゃだめです＞#3. 不等式であらわすなら「収束域」とかいうだろうし, log(1+x) の収束域は -1 < x ≦ 1. x=-1 では収束しません.
(3) を比で評価するなら
[n^n/n!] / [(n+1)^(n+1)/(n+1)!] = 1/[(1+1/n)^n] → 1/e (as n → ∞)
とするのが普通でしょうか. これで収束半径が 1/e であることが分かります. ちなみにこれだけでは x=±1/e で収束するかどうかはわかりませんが, もうちょっとこまかく評価すると収束するはずです.

回答No.4

info22

#2,#3です。
(3)のヒント
一般項が収束する条件は
|x|≦1/e (eはネイピア数、自然対数の底）
となるかと思います。

回答No.3

info22

#2です。
(1)結果は合っていますが途中計算が間違い
> 候補点(0,0)(1,-1) ヘッセ→-72y-6 ×
ヘッセ-72y-36

> (0,0)の時　-6<0→極地でない　×
-36<0→極値でない
> (1,-1)の時　64>0→極地である→fxxに(1,-1)代入=6>0→極小 　×
36>0→極値である
> fに(1,-1)代入=-4 よって極小値は-4

(2)途中から間違い。
> ヤコビアンJ=(1/2)(-1/2)-(1/2)(1/2)=-1/2
|J|=1/2
> 0≦u≦√2,0≦v≦√2
-1≦u≦1,-1≦v≦1
E:{(u,v)|-1≦u≦1,-1≦v≦1}
>元の式=∫(範囲0,√2)u^2 du ∫(範囲0,√2)e^v dv
I=∬_[E] (u^2)*e^v |J|dudv
=∬_[E] (u^2)*e^v (1/2)dudv
=(1/2)∫[-1,1] u^2 du ∫[-1,1] e^v dv
　↑続きの途中計算はやってみて下さい。

>=[u^3/3](範囲0,√2)[e^v](範囲0,√2) ×
>=(2√2/3){e(^√2)-1}　×
I={(e^2)-1}/(3e)

(4)
log(1+x)=x-(1/2)x^2+(1/3)x^3-(1/4)x^4+ ... =f(x)
log(2+x^2)=log(2)+log{1+(x^2/2)}
=log(2)+f(x^2/2)
=log(2)+(x^2/2)-(1/2)(x^2/2)^2+(1/3)(x^2/2)^3+ ...
=log(2)+(1/2)x^2-(1/8)x^4+(1/24)x^6+ ...
> x^4の係数を求めたいのでn=2を代入
> よってx^4の係数=-1/8
でx^4の係数は合っています。

>収束半径を求めるためにはa(下付きn)x^nの形だと思うのですが
>xが2n乗になってしまい詰まりました。この形のままanを考えてもよいの
>でしょうか?

参考URLに収束半径の詳細が載っていますが
log(1+x)の収束半径は
|x|≦1
（log(1+x）の場合のマクローリン展開はx=1でも収束します。）
なので
この問題では
|x^2/2|≦1
つまり
|x|≦√2
となります。

参考URL：

http://phaos.hp.infoseek.co.jp/diff2/taylor.htm

回答No.2

info22

やった所までの解答の計算過程を正誤に関わらずやった所までそっくり補足に書いてください。間違っていれば回答者がチェックして修正したり、アドバイスします。
解答は自分で作るつもりで補足に書いて下さい。詰まって先に進めない箇所はその箇所を補足質問して下さい。
自分でやったができなかったということは書く必要はありません。回答者がチェックできるように、間を省き過ぎないように、やった計算をそのまま書いてください。

(1)のヒント
停留点(0,0)は鞍点、停留点(1,-1)は極小点。
(2)のヒント
x+y=u,x-y=vなどと変数を置換すると良い。
(3),(4)パス

補足

(1)はNo1にも書かせてもらいましたが計算ミスだったようです。

(2)
x+y=u,x-y=vと変数
両方の式を+,-で
x=(u+v)/2,y=(u-v)/2
ヤコビアンJ=(1/2)(-1/2)-(1/2)(1/2)=-1/2
0≦u≦√2,0≦v≦√2
元の式=∫(範囲0,√2)u^2 du ∫(範囲0,√2)e^v dv
=[u^3/3](範囲0,√2)[e^v](範囲0,√2)
=(2√2/3){e(^√2)-1}
●円以外でヤコビアンを使ったことがなかったのでよくわかりませんでしたが、すっきりと理解できました。