極限の問題（収束半径、広義積分）です。

質問

解いていて、つまずいている問題があります。どうか分かる方お力添え下さい。

（１）Σ(√(n+1)-√n)x**n の収束半径？
補足（Σの添え字nは０から∞です）
　　（＊＊は２乗を示しています）
　　（√は（）の中にかかっています）

ダランベールの収束判定法から
収束半径r=lim(x→∞)an/an+1にしたがって解こうとしてのですがそこで詰まりました。

（２）Σan*(x**n)とΣn*an*x**(n-1)の収束半径が同じであることを示せ。
補足（Σの添え字nは０から∞です）
　　（＊＊は２乗を示しています）
　　（＊はかけ算を示しています）　
　　（anは数列です）

ダランベールで解こうと思ったのですがｘの肩のn-1が定理と違うのでこれ以上進みません。

（３）∫sin(1/x)dx（0<x≦1）
∫(x(x-1))**(-1/3)dx(2≦x<∞)
∫1/xdx(-1≦x≦1)
は収束、発散？

広義積分なので∫の中の関数より大きい関数で押さえれば収束が示せると思ったのですが適当な関数が見つかりません。

回答No.1

grothendieck · ベストアンサー

daiyanさん、こんにちは。
（１）
　an/an+1 = (√(n+1)-√n)/(√(n+2)-√(n+1))
　= (√(1+1/n)- 1)/(√(1+2/n)-√(1+1/n))
ここで
　√(1+x) = 1 + (1/2)x -(1/8)x**2 + …
を用いると
　lim(√(1+1/n)- 1)/(√(1+2/n)-√(1+1/n))
　= lim(2/n)/(2/n) = 1

（２）
　Σ[n=1～∞]n*an*x**(n-1)
　= Σ[n=0～∞](n+1)*an+1*x**n
と書き直すとダランベールの方法がそのまま使えます。
（３）
　an =∫[(1/((n+1)π)～1/(nπ)]sin(1/x)dx
とします。1/x=yとおくと、
　an =∫[nπ～(n+1)π]y**-2sin(y)dy
となりますが、この区間で一点を除いてy**-2 < 1/(nπ)**2 だから
　|an| < 1/(nπ)**2∫[nπ～(n+1)π]|sin(y)|dy
　　= 2/(nπ)**2
同様に
　|an-1| > 2/(nπ)**2
より
　|an| < |an-1|　かつ　lim an → 0
よってLeibnitzの交代級数の収束判定法よりΣan は収束し、
　∫[0～1]sin(1/x)dx
= Σ[n=1～∞]an + ∫[1/π～1]sin(1/x)dx
も収束します。
∫(x(x-1))**(-1/3)dx(2≦x<∞)
はご自分でどうぞ。
∫1/xdx(-1≦x≦1)
は言うまでもなく発散します。それで説明は省略します。Cauchyの主値 P∫1/xdx(-1≦x≦1) は収束します。

お礼

丁寧な回答ありがとうございました。

　数学初心者なのでダランベールとか、知ったか風に書いちゃいましたが実のところよく分かりません。

　ところで（１）はロピタル（知ったか）を２回繰り返してもできることに気づきました。１歩、前進した気持ちです。

　また（３）の∫(x(x-1))**(-1/3)dx(2≦x<∞)
はxx**(-1/3)<x(x-1))**(-1/3)から発散を示せばいいんですよね。これまた、少し前進です。

　精進していきます