解析（級数の収束・発散）を調べる問題です。

質問

解析（級数の収束・発散）を調べる問題です。

次の級数の収束・発散を判定しなさい。収束の場合には絶対収束、条件収束のどちらであるかを判定しなさい。

＊√２→２＾(1/2) と表記します。

(1)Σ｛n+２^(1/2)｝^(1/2)-n^(1/2)/n (ｎは１から∞）

(2)Σ｛（n+1)^(1/2)-n^(1/2)｝　(ｎは１から∞）

の２問です。
(1)は有理化してもよくわからず、(2)はうまくもとめることができません。（発散するような気もするのですが・・・）
どちらかでもわかる方、解答・解説のほうよろしくお願いします。

回答No.1

noname#152422 · ベストアンサー

(1)｛n+２^(1/2)｝^(1/2)-n^(1/2)/n>n^(1/2)-n^(-1/2)>n^(1/2)-1なので収束しない。

いや、多分カッコを付け忘れて、実際は(｛n+２^(1/2)｝^(1/2)-n^(1/2))/nのつもりですか？

後者であれば、正項級数なので、分母と分子に｛n+２^(1/2)｝^(1/2)+n^(1/2)を掛けて、上から評価。結局∑n^(-3/2)が収束すればいいことがわかります。

(2)正項級数なので、これも(1)と同様に分母と分子に(n+1)^(1/2)+n^(1/2)を掛けて、下から評価。∑n(-1/2)が任意の正数より大きくなることを利用して、収束しないことがわかります。

∑n^(-1-α)が、α＝１のとき収束しない、α>0のとき収束するということを使ってよければこれで終わり。

お礼

ようやく理解できました!
ありがとうございました。

回答No.5

noname#152422

失礼しました。1番の

「∑n^(-1-α)が、α＝１のとき収束しない、α>0のとき収束する」

は間違いで、

「∑n^(-1-α)が、α≦0のとき収束しない、α>0のとき収束する」

に訂正させてください。

これはヒドイ。質問者の人、ごめんなさい。

回答No.4

Tacosan

あはは, それはよくやります＞#3. どうも「簡単なものから難しいものへと並んでいる」と思い込んでしまうので, 逆に「後ろの問題の方が簡単」な場合であっても難しく考えてしまうという....

ちなみに #1 の最後, 「∑n^(-1-α)が、α＝１のとき収束しない、α>0のとき収束する」もいくつかの表記が混ざって勢いで間違っちゃった感じですね. 今気づいたんですけど, α=1 はどっちやねんって. 「指数が -1 以上なら発散, -1 未満なら収束」, と.

回答No.3

noname#152422

あ、そうか。(2)は隣り合う項が消えるだけですから単純でしたね。
(1)の残像がこびりついてました。

回答No.2

Tacosan

いや, (2) をそんなにまわりくどくやる必要もないかと＞#1.

素直に部分和求めればいいだけ, では.