高校数学（微分積分）

質問

以下の問題の考え方、解き方を教えて下さい。

１．n≧4のとき　(2^n)/(n!) ≦(4/3) * (1/2)^(n - 3)を証明せよ。

２．級数Σ(n=1 ～ ∞) (2^n)/(n!)は収束することを証明せよ。
１．の右辺について(4/3) lim (n→∞) (1/2)^(n-3)
|(1/2)| < 1より収束,よって(2^n)/(n!) ≦(4/3) * (1/2)^(n - 3)より、Σ(n=1 ～ ∞) (2^n)/(n!)も収束する。
これで合っていますか？

回答No.2

151A48 · ベストアンサー

（１）数学的帰納法で
　n=4で　 2^4/n ! =2/3 =(4/3)・(1/2)　成立
　n=Nで成立と仮定　すなわち　2^N/N !≦(4/3)・(1/2)^(N-3)
このとき，Ｎ≧４で2/(N+1)＜1/2 と仮定より
　　2^(N+1)/(N+1) ! = (2/N+1)(2^N/N !)＜(1/2)(4/3)・(1/2)^(N-3)=(3/4)・(1/2)^(N-2)
　n=N+1でも成立。

お礼

ありがとうございます。
理解できました。

回答No.1

alice_44

合ってない。

1. の右辺ではなく、それの Σ が n→∞ で収束することを言えば、
優級数収束定理から、問題の級数は収束すると言える。
1. の右辺は、n について等比数列だから、Σ の収束も簡単に解るね。

1. は使わずに、2. を直接、ダランベールかコーシーの
収束判定法にかけてしまうという手もある。

どちらも高校範囲じゃないって？
いづれにせよ、高校範囲の問題じゃないよ。