微分積分

質問

微分積分 大学

収束の判定法を利用して、次の数列が収束することを示せ。

a1=0.9
an+1=0.9+an/10(n≧1)

宜しくお願いします。

回答No.1

drmuraberg · ベストアンサー

おやおや迷子さんですか。
と思って回答をペーストしようとしたら、質問は
＜数列が収束することを示せ＞。回答を書いた級数の収束判定とは
違いました。

やり直して、次のＵＲＬの定理
「bnが単調増加bn+1≥bnで、bnがある値Mに対し有界であるbn≤M
なら、数列bnは収束する。」を使いましょう。
http://www.comp.tmu.ac.jp/tmu-kurata/lectures/cal11/note-1.pdf

an+1 = 0.9 + an/10　　　　を書き換えます。
an+1 = 1 – 0.1 + an/10　　　ですから
an+1 –1 = (an –1)/10
ここで
an – 1 = bn　と置くと、a1=0.9よりb1=-0.1、
bn+1 = bn/10

bnは-0.1を初項とし、公比1/10の数列であるから、bn+1はbnに対し
常に増加する。→単調増加数列である。
bnはn→∞で0となり、有界である。
よって数列bnは収束する。

その収束値をαとすると
lim bn=lim(an-1)=lim an –1 =α
lim an =α+1 (αは定数で、α=0)
よって数列anは収束する。

おまけです。

級数Σan　(n=1～∞)の収束判定。
「ダランベールの収束判定法
lim|an+1/an|<1　　　極限nはn→∞なら、
級数Σan（和はn～∞）は収束する」を使いましょう。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%80%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%99%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%8F%8E%E6%9D%9F%E5%88%A4%E5%AE%9A%E6%B3%95

上と同じくan – 1 = bn　と置くと
bn+1 = bn/10
つまり、bnは1/10を比とする公比数列。
lim|bn+1/bn| = 1/10 < 1 であるから級数bnは収束する。

その収束値をαとすると、
Σbn =α
より
Σ(an-1)=Σan – Σ1 = Σan –n =α
よって
Σan=α+n
n→無限大とすると
Σan=∞
従って、無限級数anは発散するとなります。
これは
a1=0.9, a2=0.99,a3=0.999,a4=0.9999・・・・よりも明らかです。

別の考え方は
bn=-0.1(1/10)^(n-1)=-(1/10)^n
よって
an=bn +1 = 1-(1/10)^n
lim|an+1/an|=lim|{1-(1/10)^(n+1)}/{ 1-(1/10)^n}=1
で収束か発散かは判定できません。
それでラーベの収束判定法を使うと、an>0ですから
lim*n(|an+1/an|-1)< lim*n(|an+1/an|-1)-1 -C Cは正の数、
の時に収束。
lim*n(|an+1/an|-1)=lim*n{1-(1/10)^(n+1)}/{ 1-(1/10)^n-1}
= 0>-1　　（導出省略）
ですから、収束せず発散するとなります。

迷子を繰り返して人生が発散しませんように、このおじさんの
様にムニャムニャ。

お礼

素晴らしい解答ありがとうございます。
感動しました。