微分積分で困っています。

質問

微分積分で困っています。

【問題】
すべての実数xに対して、
級数Σ_[n=1]^[∞] 1/(x^2+n^4)は収束し、
その極限値f(x)はxについて連続であることを示せ。

前半の収束性までは示せましたが、後半が分かりません。

【自分の答え】

自分は比較判定法だと思いました。

1/(x^2+n^4) < 1/(n^4) < 1/(n^2)

で

Σ_[n=1]^[∞] 1/(n^2)

は収束するから、問題の級数も収束．

後半の極限値の求め方が分かりません。
どなたかよろしくお願いします。

回答No.1

Anti-Giants · ベストアンサー

問題をよく読みましょう。
　極限値を求める問題ではないです。
　連続であることを示せばよいだけです。

|f(x) - f(y)|
= |sum (y^2-x^2)/(x^2+n^4)(y^2+n^4)|
≦ |x^2-y^2| sum n^8

お礼

なるほど。分かりました。
どうもありがとうございました！