積分の問題が分かりません

質問

以下の広義積分が収束するか判定せよ。ただしその値は求めなくてよい。
1.　　x^p*(1-x)^q を0から1までｘで積分　p,qは0以下の実数でp,qの値で場合分け
2. cos(x)/x　を0から∞まで積分
という問題です。助けてください

回答No.1

151A48

１．すみません。よくわかりません。　p,q>0だとベータ関数の問題ですがp,q<0のときどうしよう。
　　　t=1/xの置換かな？　

２．だけ・・・。
　∫[0,∞]f(x)dx 　　の収束条件
　　　　任意の正数εに対しｃが定まってc<a<b　なるa , b に対し
|∫[a,b]f(x)dx|<ε

部分積分をして
∫[a,b]cosx/x dx=(sinb/b)-(sina/a)+∫[a,b]sinx/x^2 dx
これより
|∫[a,b]cosx/x dx|≦|sinb/b|+|sina/a|+∫[a,b]|sinx/x^2| dx
≦(1/a) +(1/b) + ∫[a,b] 1/(x^2) dx
=2/a
（途中計算一部略。ご自分で確かめて下さい）

任意のε>0に対し　（2/ε）<a<bのようにa,bを定めれば
|∫[a,b]cosx/x dx|<ε

よって収束。