数学

質問

x^n=1の解が、
x=cos((2πk)n)+isin((2πk)n)（ｋは１からｎ－１）
になる証明を教えてください。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

No.1 の証明は、
x=(x^n)^(1/n) の部分にも
(e^(i2kπ))^(1/n)=e^(i2kπ/n) の部分にも
ちょっと問題があります。
1/n が非整数なので、x が虚数のときは
指数法則はこんなに簡単な形はしていません。
^(1/n) 関数の多価性に注意する必要があり、
その多価性を表現する式が x^n=1 ですから、
循環論法の疑いもある。

代案として、こんなのはどうでしょう。
因数定理により、n 次方程式の解は高々 n 個であるが、
n 個の値 x=cos(2kπ/n)+i sin(2kπ/n) (k=0,1,2, ... ,n-1)
は、代入してみると、確かに x^n=1 を満たしている。
よって、これらが解の全てである。
ミもフタもない…といえば、そうなのですが。

回答No.3

mister_moonlight

ド・モアブルの定理で終わり。

｜x｜＝1より　x＝cosθ＋i*sinθ　と置ける。
それを　x^n=1　に代入すると、ド・モアブルの定理から　x^n＝cos(nθ)＋i*sin(nθ)＝1.
従って、cos(nθ)＝1、sin(nθ)＝0から　　これを一般角で解くと　証明する式になる。

回答No.1

info22_

>x^n=1の解が、
>x=cos((2πk)n)+isin((2πk)n)（ｋは１からｎ－１）

間違っていませんか？
問題の答えが間違ってるので証明不可能です。

n次方程式なので解はn個あります。
解は
x=cos(2kπ/n)+isin(2kπ/n)
ただし、k=0,1,2, ... ,n-1(またはk=1,2, ... ,n)
のはずです。

[証明]
　x^n=1=e^(i2kπ)、ただし k=0,1,2, ...,n-1 (またはk=1,2, ... ,n)
1/n乗して
　x=(x^n)^(1/n)=(e^(i2kπ))^(1/n)=e^(i2kπ/n)
オイラーの公式より
x=cos(2kπ/n)+isin(2kπ/n)
ただし、k=0,1,2, ... ,n-1 (またはk=1,2, ... ,n)

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/オイラーの公式